设数列满足计算猜想的通项公式并加以证明求数列的前项和

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233392. （2022•西工大附中•高三上一月）设数列{a_n}满足a₁＝3，a_n₊₁＝3a_n﹣4n．
（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

共享时间:2022-10-18 难度:1

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[考点]

数学归纳法证明命题，

[答案]

（1）a_n＝2n+1，证明见解答．

（2）S_n＝（2n﹣1）2ⁿ⁺¹+2．

[解析]

解：（1）法一：数列{a_n}满足a₁＝3，a_n₊₁＝3a_n﹣4n，
则a₂＝3a₁﹣4＝5，a₃＝3a₂﹣4×2＝7，…，
猜想{a_n}的通项公式为a_n＝2n+1．
证明如下：（i）当n＝1，2，3时，显然成立，
（ii）假设n＝k时，a_k＝2k+1（k∈N⁺）成立，
当n＝k+1时，a_k₊₁＝3a_k﹣4k＝3（2k+1）﹣4k＝2k+3＝2（k+1）+1，故n＝k+1时成立，
由（i）（ii）知，a_n＝2n+1，猜想成立，
所以{a_n}的通项公式a_n＝2n+1．
法二：数列{a_n}满足a₁＝3，a_n₊₁＝3a_n﹣4n，
则a₂＝3a₁﹣4＝5，a₃＝3a₂﹣4×2＝7，…，
猜想{a_n}的通项公式为a_n＝2n+1．
证明：设a_n₊₁+α（n+1）+β＝3（a_n+αn+β），
可得a_n₊₁＝3a_n+2αn+2β﹣α，
∴

，解得

，
∴a_n₊₁﹣2（n+1）﹣1＝3（a_n﹣2n﹣1），（不能说明{a_n﹣2n﹣1}是等比数列）
∵a₁＝3，a₁﹣2×1﹣1＝0，并且a₂﹣2×2﹣1＝0，所以a_n＝2n+1恒成立．
所以a_n＝2n+1．
（2）令b_n＝2ⁿa_n＝（2n+1）•2ⁿ，则数列{2ⁿa_n}的前n项和
S_n＝3×2¹+5×2²+…+（2n+1）2ⁿ，…①
两边同乘2得，2S_n＝3×2²+5×2³+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，…②
①﹣②得，﹣S_n＝3×2+2×2²+…+2×2ⁿ﹣（2n+1）2ⁿ⁺¹
＝6+