在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形再把它的边沿虚线折起如图做成一个无盖的长方体箱子则箱子容积的最大值为

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231958. （2025•西安八十三中•高二下一月）在边长为8×5cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为　　 cm³．

共享时间:2025-04-16 难度:1

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[考点]

利用导数求解函数的最值，

[答案]

18．

[解析]

解：根据题目：边长为8×5cm的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），
设小正方形的边长为x，依题意，箱子容积V（x）＝（8﹣2x）（5﹣2x）x＝4x³﹣26x²+40x，
由

，解得0＜x＜2.5，所以V（x）的定义域为（0，2.5）．
则V′（x）＝12x²﹣52x+40＝4（3x﹣10）（x﹣1），
所以V（x）在区间（0，1），V′（x）＞0，V（x）单调递增；
在区间（1，2.5），V′（x）＜0，V（x）单调递减，
所以当x＝1cm时，V（x）取到最大值，且最大值为V（1）＝18cm³．
故答案为：18．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的最值，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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2025-04-16

高中数学 | 高二下 | 填空题

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