问题提出西安市为迎接十四运计划实施扩大城市绿化面积现有一块四边形空地如图四边形需要铺上草皮但由于规划图纸被污损仅能看清两条对角线的长度分别为及夹角你能利用这些数据帮助工作人员求出这块空地的面积吗建立模型我们先来解决较为简单的三角形的情况如图中为上任意一点不与两点重合连接为与所夹的锐角则的面积为用表示

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23090. （2021•高新一中•九上期中）问题提出：西安市为迎接“十四运”计划实施扩大城市绿化面积．现有一块四边形空地（如图2，四边形ABCD）需要铺上草皮，但由于规划图纸被污损，仅能看清两条对角线AC，BD的长度分别为40cm，30cm及夹角∠BEC=60°，你能利用这些数据，帮助工作人员求出这块空地的面积吗？
建立模型：我们先来解决较为简单的三角形的情况．
（1）如图1，△ABC中，D为AB上任意一点（不与A，B两点重合），连接CD，CD=a，AB=b，∠ADC=α（α为CD与AB所夹的锐角），则△ABC的面积为．（用a，b，α表示）
问题解决：请你解决工作人员的问题．
（2）如图2，四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC=40cm，BD=30cm，∠BEC=60°，求四边形ABCD的面积．（写出必要的解答过程）
新建模型：
（3）若四边形ABCD中，E为对角线AC，BD的交点，已知AC=a，BD=b，∠BEC=α（α为AC与BD所夹的锐角），直接写出四边形ABCD的面积为．（用a，b，α表示）
模型应用：
（4）如图3，四边形ABCD中，AD+BC=AB，∠BAD=∠ABC=60°．已知BD=a，求四边形ABCD的面积．（“新建模型”中的结论可直接利用）
$德优题库$

共享时间:2021-11-25 难度:5

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[考点]

等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四边形综合题，四边形与面积问题，锐角三角函数的定义，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）过点C作CM⊥AB于点M，如图1所示：

∴△CMD为直角三角形．
又∵∠ADC＝α，
∴sinα＝

，
∴CM＝CD•sinα，
∴S_△ABC＝

AB•CM＝

DAB•CD•sinα＝

absinα，
故答案为：

absinα；
（2）过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，如图2所示：
∵∠BEC＝60°，
∴∠AED＝60°，
同（1）得：S_△ACD＝

AC•DE•sin60°＝

AC•DE，S_△ABC＝

AC•BE•sin60°＝

AC•BE，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△ACD+S_△BCD＝

AC•DE+

AC•BE＝

AC（DE+BE）＝

AC•BD＝

×40×30＝300

（cm²）；
（3）如图2，过点D作DF⊥AC于F，过点B作BN⊥AC于N，

∵∠BEC＝α，
∴∠AED＝α，
同（1）得：S_△ACD＝

AC•DE•sinα，S_△ABC＝

AC•BE•sinα，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△ACD+S_△BCD＝

AC•DE•sinα+

AC•BE•sinα＝

AC•（DE+BE）•sinα＝

AC•BD•sinα＝

absinα，
故答案为：

absinα；
（4）在AB上取BG＝BC，连接DG、AC、CG，AC分别交DG、BD于H、P，如图3所示：

∵AD+BC＝AB，AG+BG＝AB，
∴AD＝AG，
∵∠BAD＝∠ABC＝60°，
∴△ADG与△BCG均为等边三角形，
∴DG＝AG，CG＝BG，∠AGD＝∠BGC＝60°，
∴∠DGC＝60°＝∠BGC，
∴∠AGC＝∠DGB＝120°，
∴△AGC≌△DGB（SAS），
∴AC＝BD，∠GAC＝∠GDB，
∵∠DHC＝∠AHG，
∴∠DPH＝∠AGD＝60°，
∴S_{四边形ABCD}＝

•a•a•sin60°＝

•a•a•

＝

a²．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,四边形综合题,四边形与面积问题,锐角三角函数的定义"，属于"综合题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199067. （2022•师大附中•八下期中） $德优题库$ 已知：如图等边三角形ABC中，D是AC中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，求证：BD=AE．

共享时间:2022-05-21 难度:2 相似度:1.4

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
$德优题库$

共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.4

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24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.4

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179582. （2024•爱知中学•八上期中） △ABC中，若AB＝BC＝AC，则这个三角形是等边三角形，小红和小顺在学习了直角三角形的相关知识后，利用课余时间又研究了等边三角形，如图1，她们发现等边三角形的高

，她们继续深入探究了以下问题：
在等边△ABC中，BD是等边△ABC的边AC上的高，P是射线DB上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列）．

（1）如图2，当点P在线段BD上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）若

，

，求PD的长．

共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.4

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191792. （2024•远东二中•八下一月） $德优题库$ 如图所示，A、C、B三点共线，△DAC与△EBC都是等边三角形，AE、BD相交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N．
（1）求证：△ACE≌△DCB
（2）求∠APD的度数

共享时间:2024-04-29 难度:2 相似度:1.4

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190594. （2025•交大附中•九上期末）【问题初探】
如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　　；
【应用拓展】
某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形ABCD，经测量，∠B＝30°，∠C＝60°，AB＝75m，BC＝100m，CD＝40m．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃△EMF，E、F在BC边上．为保证整体设计美观实用，要求BE＝CF＝40m，且满足∠EMF＝60°．为了给学生提供休息区域，计划在AB边上建造凉亭N和两条小路DN及NM．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭N到点B的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：

，

）

共享时间:2025-02-14 难度:1 相似度:1.2

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185174. （2025•高新三中•七下期中） $德优题库$ 如图，点F，C在BE上，BF=EC，AB=DE，DF=AC．求证：∠B=∠E．

共享时间:2025-05-11 难度:1 相似度:1.2

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185523. （2024•高新一中•七下期中） $德优题库$ 已知：如图，∠A=∠D，AB，∥DE，BF=CE，求证：AC=DF．

共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:1.2

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185423. （2023•爱知中学•八上期中）在Rt△DEF中，DE＝DF，∠EDF＝90°，点E，D分别在长方形ABCO的边BC，CO上．

（1）如图1，当点F在OA上，且CE＝3，OF＝1时，则EF＝　；
（2）如图2，若EC＝CO，点D为线段CO上一动点（不包括端点），连接OF，求∠AOF的度数；
（3）如图3，若矩形ABCO中，OA＝5，OC＝4，在（2）的基础上，当BF取值最小时，求点D的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.2

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185399. （2024•高新一中•八下期中）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（BC除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S_{四边形ABCD}=32，求BD的长．
（3）如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=100米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC，CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，∠DAF=15°，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长．
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共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.2

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185374. （2024•高新一中•七下期中）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，作BD⊥l于D，CE⊥l于E．
$德优题库$
（1）当直线l在∠BAC外部时（图（a）），求证：BD+CE=DE；
（2）当直线l在∠BAC内部时（图（b）），猜想线段BD，CE与DE之间又有怎样的关系．证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若BD=6，CE=4，求四边形ABEC的面积．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.2

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185372. （2024•高新一中•七下期中） $德优题库$ 已知：如图，F，C是AD上的两点，且AB=DE，AB∥DE，AF=CD．
求证：BC=EF．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.2

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185226. （2025•西工大附中•八下期中）问题发现
（1）如图①，已知边长为4的等边△ABC，AE是△ABC的中线，点D为AC的中点，点P为AE上一动点，则PC+PD的最小值为　；
问题探究
（2）如图②，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝135°，连接AC，且CD＝20，AC＝26，求BC的长；
问题解决
（3）某公园规划一个四边形花园ABCD，如图③，其面积为