如图在矩形中是边上的一个动点是边上的一个动点连接将矩形沿折叠点的对应点分别为点当点在射线上时如图连接若点与点重合则的长为如图连接交边于点交线段于点当时求的长若连接求面积的最大值与最小值之差

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212112. （2025•陆港中学•四模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E是边AD上的一个动点，F是边BC上的一个动点，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点M，N．
（1）当点N在射线AD上时．
①如图1，连接CE，若点N与点D重合，则AE的长为；
②如图2，连接BN交边CD于点P，交线段EF于点Q．当DN=3时，求PQ的长．
（2）若CF=1，连接DM，DN，求△DMN面积的最大值与最小值之差．
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[考点]

四边形综合题，

[答案]

（1）①

；

②

；

（2）

．

[解析]

解：（1）①在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，AD∥BC，∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠DEF＝∠BFE，
将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点M，N．
∴∠BFE＝∠DFE，DF＝BF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE，
设DF＝BF＝DE＝x，则CF＝AE＝9﹣x，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：CD²＝DF²﹣CF²，即6²＝x²﹣（9﹣x）²，
解得

，
∴

，
故答案为：

；
②四边形ABCD是矩形，如图2，作NH⊥BC的延长线于H，

∴∠ADC＝∠NDC＝∠BCD＝∠DCH＝90°，
∴∠NDC＝∠H＝∠DCH＝90°
∴四边形CDNH是矩形，
∴NH＝CD＝6，CH＝DN＝3，∠H＝90°，
∴BH＝12，
在直角三角形BNH中，由勾股定理得：

，
同理①得：EN＝FN＝BF，
设EN＝FN＝BF＝a，则FH＝12﹣a，
在直角三角形FNH中，由勾股定理得：NH²＝FN²﹣FH²，即6²＝a²﹣（12﹣a）²，
解得

，
∴

，
∵AD∥BC，
∴△QNE∽△QBF，
∴

，即QN＝QB，
又∵

，
∴

，
同理△DPN∽△CPB，
∴

，即

，
∵

，
∴

；
（2）如图3，连接DM、DN、AF，作D关于EF的对称点D′，D关于AF的对称点D″，连接D′A、D′B，DF、D′F，过点D作DT⊥AB于点T，

由翻折可得：S_△ABD′＝S_△DMN，DF＝D′F，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得

，
∴

，
∴D′在以F为圆心

为半径的劣弧

上运动，
∵D′T+D′F≥FB＝9﹣1＝8，
∴

，
当点D′在BC上时，D′T取得最小值为

，
∴S_△ABD′的最小值为

，
∵D′T≤AD＝9，
∴当点D′与点D重合时，D′T取得最大值为AD＝9，
S_△ABD′的最大值为

，
∵

，
∴△DMN面积的最大值与最小值之差为

．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

212524. （2025•西工大附中•一模）（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm,AC长为15cm,垂足为E，则四边形ABCD的面积为 cm²．
（2）如图2，矩形ABCD中，AD=6cm,AB=4cm,EF∥AD，点G，H分别是BC，AD上任一点，求四边形EGFH的面积．
（3）如图3，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm,四边形ABCD的面积为24cm²，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米．
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共享时间:2025-03-05 难度:1 相似度:2

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196803. （2024•铁一中学•九上期末）探究与证明
（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；
类比迁移
（2）如图2，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=3，AF=4，连接EF，把三角形AEF沿EF翻叠，若点A的对应点G恰好落在边BC上，则BE的长为；
拓展应用
（3）如图3，有一个矩形广场ABCD，AB=30，AD=50，广场上要修两条小路EF、EG，要求点E、F、G分别在边AB、AD、BC上，且BE=20，EF=EG，∠FEG=60°，广场上五边形EFDCG内部将进行绿化，请求出绿化面积．
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共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:2

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196410. （2024•高新一中•八上期末）【问题发现】
（1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？
小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线的对称点B′，连接AB′与直线交于C，点C就是所求位置．
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∵直线l是点B，B′的对称轴，
∴CB=CB'．
∴AC+CB=AC+CB'．
根据“ ”可得AC+CB的最小值是AB′．
【问题探究】
（2）如图3，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AB边上的一点，且AE=2，F是AD上的一个动点，求△BEF周长的最小值．
【问题解决】（3）如图4，在四边形ABDC中，∠A=∠B=90°，AB=60，AC=50，BD=110，点E是线段AB上的任一点，连接EC，以EC为直角边在AC下方作等腰直角三角形ECF，FE为斜边．CD边上存在一个点G，且点G到BD的距离等于20，连接FG，△CFG的周长是否存在最小值？若存在，请求出△CFG的周长最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-16 难度:1 相似度:2

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196483. （2024•爱知中学•八下期末）（1）问题提出
如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则菱形ABCD的面积为　　．

（2）问题探究
如图2，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接BD．已知BD＝6，求AB+BC的值．
（3）问题应用
如图3，某湿地公园打算修建一个菱形ABCD花园，并且使∠ABC＝60°，点P是菱形ABCD内部一点，连接PA，PB，PC，PD，其中PA＝200m，

，∠PAD＝∠PDC，现计划在△APD和△BPC内种植郁金香，已知郁金香的种植单价为200元/平米，请你求出种植郁金香的总价．

共享时间:2024-07-24 难度:1 相似度:2

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196561. （2024•莲湖区•八下期末）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=30°，若BD=3，求AD的长．
【问题解决】
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场．已知∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，AB=AD=40米，在对角线AC上有一个凉亭O，测得OC=30米．按规划要求，需过凉亭O修建一条笔直的小路MN，使得点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，AN，其中四边形AMCN为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形AMCN）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由． $德优题库$

共享时间:2024-07-24 难度:1 相似度:2

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196609. （2024•西工大附中•七下期末） $德优题库$ 甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了天，甲组挖掘的总长度是 m；
（2）求乙组停工后y关于x的关系式．

共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:2

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196610. （2024•西工大附中•七下期末）问题发现
（1）初一数学兴趣小组的同学在研究等边三角形时，发现了含有30°角的直角三角形的性质．如图1，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，则

，若设BD＝a，则AB＝BC＝2BD＝2a，AD＝　　，AD与BD的数量关系为　　．
接着同学们还证明了：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．问题探究
（2）如图2，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，连接CE．若

，BD＝1，求△CDE的面积．
问题解决
（3）如图3，长方形ABCD是植物园中一个郁金香种植区的平面示意图．AB＝60米，BC＝120米，点E，F分别在AB，AD边上，BE＝20米，∠AEF＝60°，△AEF内部为白色郁金香种植区．点P是BC的中点，点M在EF上，EF下方的等边△MPQ内部为黄色郁金香种植区，△BPM和△CPQ的内部分别为红色和粉色郁金香种植区．请探究△BPM和△CPQ的面积之和是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．

共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:2

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196681. （2024•西工大附中•八下期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（6，0），（-3，4）．将线段CO先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段MN．
（1）点M的坐标为，点N的坐标为；
（2）点D是直线MN上的动点，在x轴上是否存在E，使得以O，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-07-18 难度:1 相似度:2

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196682. （2024•西工大附中•八下期末）【问题提出】
（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，其中E，F分别是BC，CD边上的中点，则△AEF的周长为　　；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，AB∥CD，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF＝60°，则△CEF周长的最小值为　　；
【问题解决】
（3）如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地ABCD，计划在边BC，CD上分别取点E，F，利用小路AE，AF将这块四边形空地ABCD分开，在四边形空地AECF内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取AC的中点M，沿着ME，EC，CF，MF修建观赏长廊．经测量∠B＝45°，∠BCD＝120°，AB＝6km，

，∠EAF＝60°，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短．请你帮助规划部门确定ME+EC+CF+MF是否有最小值．若存在，请求出ME+EC+CF+MF的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-07-18 难度:1 相似度:2

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196827. （2024•铁一中学•八下期末）（1）△ABC与△ADE如图1所示位置摆放，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，△ADE绕点A按逆时针方向旋转至图2的位置，连接BD，CE，求证：BD=CE．
（2）如图3，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=6，则BC+CD= ．
（3）如图4，△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．连接DE，点F与点D关于直线AC对称，连接DF、EF．猜想线段AE、BE、DF之间的数量关系，并证明． $德优题库$

共享时间:2024-07-08 难度:1 相似度:2

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196310. （2024•高新一中•九上期末）问题提出：
（1）如图①，已知△ABC是面积为

的等边三角形，AD是∠BAC的平分线，则AB的长为　　．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EDF＝90°．证明：DE＝DF．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P，Q分别在AD，BC上，连接PQ、PB、PC，∠BPC＝60°，E、F分别在PB、PC上，连接QE、QF，QE＝QF，∠EQF＝120°，其中四边形PEQF种植玫瑰，△ABP和△PCD种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF的面积为

，为了节约成本，矩形花园ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD的最小面积，若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-28 难度:1 相似度:2

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197013. （2024•交大附中•八上期末）【问题引出】
（1）如图1．在△ABC中，AB=BC=5，AC=8，若D为AC边上一点，BD平分△ABC的面积，则BD的长为．
【问题延伸】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D在BC边上，且BD=1，若P为AC边上一点，DP平分△ABC 的面积，求AP的长．
【问题拓展】
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴上，已知∠AOC=60°，∠OAB=150°．∠ABC=120°．OA=2，OC=10．若P为OC边上一点．且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标．
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197132. （2023•铁一中学•八上期末）问题探究：
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（1）如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边BC上的一动点，以AD为边在右侧作△ADE，且∠DAE=90°，AD=AE，连CE．若CD=2BD=4，求DE的长；
（2）如图（2），边长为4的等边△ABC，点D为边BC上的一动点，以AD为边在右侧作等边△ADE，连接CE，则
①∠DCE=       ；
②DC+CE=       ；
③△DCE的周长最小值是        ．
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，CD=1，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，点M，N分别为边AD，DC上的动点，且DM+DN=2，是否存在点M，N，使得四边形BMDN面积最大且△DMN的周长最小？若存在，求出四边形BMDN面积最大值和△DMN的周长最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-02-13 难度:1 相似度:2

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197230. （2025•西安一中•八下期中）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，AD⊥BC．若AB=5，BD=3，CD=6，则AC= ．
问题探究
（2）如图2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD．
求证：BC²+AD²=AB²+CD²．
问题解决
（3）如图3，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B=90°，AB=600米，AD，DE是两条小道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E．该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF，且满足EF=EC，∠AFE=90°．请根据上述条件，求骑行小道AF的长．
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共享时间:2025-05-16 难度:1 相似度:2

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197475. （2024•爱知中学•九上期中）问题探究
（1）请在图1中过点A画一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）如图2，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，点E在AD的延长线上，且DE=2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则请求出CM的长度；
问题解决
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形ABCD，如图3所示．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，实际长度AD=5公里，AB=9公里，BC=13公里，CD=15公里，点P在CD上且PD=5公里．根据用地需求，需在BC上确定点E，将五边形ABEPD作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形ABCD总面积的一半，并在AB上确定点F，在△PEF中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区．为方便游客游览，要求修建PE、PF、EF三条观光道路的总长度最小．请问这样的△PEF是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及△PEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:2

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dyczsxyn

2025-04-15

初中数学 | | 解答题

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2025年陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学中考数学四模试卷

更新:2025-04-15 05:24浏览量:23

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