问题探究如图在矩形中点为左侧一动点连接于点点为矩形内一点连接求面积的最小值问题解决如图直线为一条笔直小路矩形种植地的边在直线上且米赵叔叔计划对这块种植地重新进行规划利用在边和点上方的小路上分别取点使得沿修建两条通道记通道与的交点为

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211254. （2025•西光中学•三模） $德优题库$ 【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=12，AD=9，点E为AB左侧一动点，连接AE、BE，AF⊥BE于点F，AE=2EF，点G为矩形ABCD内一点，连接AG、BG、CG、DG，∠AGB+∠AEB=180°，求△CDG面积的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，直线l为一条笔直小路，矩形种植地ABCD的边CD在直线l上，且BC=2AB=80米，赵叔叔计划对这块种植地重新进行规划利用，在边BC和点C上方的小路l上分别取点E、F，使得CF=2BE，沿AE、BF修建两条通道（记通道AE与BF的交点为G），并在BF上取点N，沿CN修建第三条通道，使得CN∥AE，在△BCN的内心P处修建一个观赏台，并在△ADP内种植某种新品种作物，根据赵叔叔的规划要求，观赏台P到A、D两点的距离相等，请你计算此时△ADP的面积．

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[考点]

四边形综合题，

[答案]

（1）

；

（2）

平方米．

[解析]

解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，AF⊥BE，AE＝2EF，如图1，作△ABG的外接圆⊙O，连接OA、OB，

∴∠AEB＝60°，
∵∠AGB+∠AEB＝180°，
∴∠AGB＝120°，
∴点G为矩形ABCD内⊙O上的动点，且∠AGB＝120°，
∴∠AOB＝2（180°﹣∠AGB）＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝12，
∴要使△CDG的面积最小，只需CD边上的高最小．
如图1，取AB的中点M，连接OM并延长，分别交劣弧

和CD于点G′和N，连接CG′、DG′，
∴OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴

，
∴

，
∴当点G与点G′重合时，点G到CD的距离最小，
即△CDG中CD边上的高最小，最小值为

，
∴△CDG面积的最小值为

；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°．
∵BC＝2AB，CF＝2BE，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∵CN∥AE，
∴∠BNC＝∠BGE＝∠AGB＝90°，
连接PB、PC，如图2，则BP平分∠CBN，CP平分∠BCN，

∴

，
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝135°．
作△BCP的外接圆⊙O，连接OB、OC，如图2，
则点P为矩形ABCD内⊙O上的动点，且∠BPC＝135°，
∴∠BOC＝2（180°﹣∠BPC）＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
取BC的中点M，连接OM并延长，分别交劣弧

和AD于点P′和T，连接AP′、DP′，如图2．
由OB＝OC，BM＝CM可得OM垂直平分BC，
∴OT垂直平分AD，
∴AP′＝DP′，
∵矩形种植地ABCD的边CD在直线l上，且BC＝2AB＝80米，
由题意可知：点P应在点P′的位置，AD∥BC，AD＝BC＝80米，
又∵OM垂直平分BC，OT垂直平分AD，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴MT＝AB＝40米，

米，
∴OM＝40米，

米，
∴

米．
∴

（平方米），
即此时△ADP的面积为

平方米．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

212294. （2025•滨河中学•八模）问题提出
（1）如图1，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD=3AD，则△ADE与△ABC的高之比为；
问题解决
（2）如图2，在△ABC中，BC=10，S_△ABC=50，矩形DEFG的顶点D、E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG=x,求当x取何值时，矩形DEFG面积最大并求出最大面积．
拓展应用
（3）如图3，某校计划在操场北侧规划一片四边形空地ABCD，其中∠D=90°，∠B=60°，AD=40m,CD=30m,E、F分别是AD和CD上一点，且E、F到AC的距离相等，H是AC上一点，现在计划在E处、F处和B安装水龙头用于灌溉，在H处打一口水井并用管道将HE、HB、EF相连接，在△EFH和△ABC内种植花卉，剩余部分铺上草地．根据设计要求，想让花卉面积足够大（即S_△EFH+S_△ABC最大），请根据以上要求求出花卉的最大面积，并求取得最大面积时管道（即EH+BH+EF）的最小长度．（结果保留根号）
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共享时间:2025-06-19 难度:1 相似度:2

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196610. （2024•西工大附中•七下期末）问题发现
（1）初一数学兴趣小组的同学在研究等边三角形时，发现了含有30°角的直角三角形的性质．如图1，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，则

，若设BD＝a，则AB＝BC＝2BD＝2a，AD＝　　，AD与BD的数量关系为　　．
接着同学们还证明了：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．问题探究
（2）如图2，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，连接CE．若

，BD＝1，求△CDE的面积．
问题解决
（3）如图3，长方形ABCD是植物园中一个郁金香种植区的平面示意图．AB＝60米，BC＝120米，点E，F分别在AB，AD边上，BE＝20米，∠AEF＝60°，△AEF内部为白色郁金香种植区．点P是BC的中点，点M在EF上，EF下方的等边△MPQ内部为黄色郁金香种植区，△BPM和△CPQ的内部分别为红色和粉色郁金香种植区．请探究△BPM和△CPQ的面积之和是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．

共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:2

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196210. （2024•师大附中•八下期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5．求∠APB的度数．

解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BP′A的位置，连接PP′
则△BPP′是　　三角形．
∴PP′＝PB＝3
又∵PA＝4，P′A＝PC＝5
∴PP'²+PA²＝P'A²
∴△PP′A为直角三角形
∴∠APB的度数为　　．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形ABCDEF内部有一点P，若PA＝4，PB＝2，

，请直接写出∠APB的度数及正六边形的边长．

共享时间:2024-07-01 难度:1 相似度:2

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196310. （2024•高新一中•九上期末）问题提出：
（1）如图①，已知△ABC是面积为

的等边三角形，AD是∠BAC的平分线，则AB的长为　　．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EDF＝90°．证明：DE＝DF．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P，Q分别在AD，BC上，连接PQ、PB、PC，∠BPC＝60°，E、F分别在PB、PC上，连接QE、QF，QE＝QF，∠EQF＝120°，其中四边形PEQF种植玫瑰，△ABP和△PCD种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF的面积为

，为了节约成本，矩形花园ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD的最小面积，若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-28 难度:1 相似度:2

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196385. （2024•高新一中•八下期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2

，BE＝2

，请直接写出△APE的面积．

共享时间:2024-07-26 难度:1 相似度:2

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196410. （2024•高新一中•八上期末）【问题发现】
（1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？
小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线的对称点B′，连接AB′与直线交于C，点C就是所求位置．
$德优题库$
∵直线l是点B，B′的对称轴，
∴CB=CB'．
∴AC+CB=AC+CB'．
根据“ ”可得AC+CB的最小值是AB′．
【问题探究】
（2）如图3，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AB边上的一点，且AE=2，F是AD上的一个动点，求△BEF周长的最小值．
【问题解决】（3）如图4，在四边形ABDC中，∠A=∠B=90°，AB=60，AC=50，BD=110，点E是线段AB上的任一点，连接EC，以EC为直角边在AC下方作等腰直角三角形ECF，FE为斜边．CD边上存在一个点G，且点G到BD的距离等于20，连接FG，△CFG的周长是否存在最小值？若存在，请求出△CFG的周长最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-16 难度:1 相似度:2

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196483. （2024•爱知中学•八下期末）（1）问题提出
如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则菱形ABCD的面积为　　．

（2）问题探究
如图2，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接BD．已知BD＝6，求AB+BC的值．
（3）问题应用
如图3，某湿地公园打算修建一个菱形ABCD花园，并且使∠ABC＝60°，点P是菱形ABCD内部一点，连接PA，PB，PC，PD，其中PA＝200m，

，∠PAD＝∠PDC，现计划在△APD和△BPC内种植郁金香，已知郁金香的种植单价为200元/平米，请你求出种植郁金香的总价．

共享时间:2024-07-24 难度:1 相似度:2

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196561. （2024•莲湖区•八下期末）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=30°，若BD=3，求AD的长．
【问题解决】
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形ABCD休闲广场．已知∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，AB=AD=40米，在对角线AC上有一个凉亭O，测得OC=30米．按规划要求，需过凉亭O修建一条笔直的小路MN，使得点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，AN，其中四边形AMCN为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形AMCN）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由． $德优题库$

共享时间:2024-07-24 难度:1 相似度:2

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196609. （2024•西工大附中•七下期末） $德优题库$ 甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了天，甲组挖掘的总长度是 m；
（2）求乙组停工后y关于x的关系式．

共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:2

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196681. （2024•西工大附中•八下期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（6，0），（-3，4）．将线段CO先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段MN．
（1）点M的坐标为，点N的坐标为；
（2）点D是直线MN上的动点，在x轴上是否存在E，使得以O，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-07-18 难度:1 相似度:2

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195879. （2025•曲江一中•九上期末） $德优题库$
问题提出
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠B=30°，AB=8，E是AB的中点，点F在AD上且AF=5，求五边形BCDFE的面积．
问题解决
（2）为了优化美化人居生态环境．如图2所示，某城市现规划建一个五边形公园，记为五边形ABCDE．按设计要求，要在公园内挖一个四边形人工湖记为四边形ONMP，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠C=150°，∠B=30°，AB=BC=800m,AE=700m,CD=600m,为了安全起见，AM＜AE，PD＜CD．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．是否存在符合设计要求的面积最小的四边形ONMP？若存在，求出面积最小值及这时AN的距离；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-13 难度:1 相似度:2

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196682. （2024•西工大附中•八下期末）【问题提出】
（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，其中E，F分别是BC，CD边上的中点，则△AEF的周长为　　；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，AB∥CD，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF＝60°，则△CEF周长的最小值为　　；
【问题解决】
（3）如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地ABCD，计划在边BC，CD上分别取点E，F，利用小路AE，AF将这块四边形空地ABCD分开，在四边形空地AECF内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取AC的中点M，沿着ME，EC，CF，MF修建观赏长廊．经测量∠B＝45°，∠BCD＝120°，AB＝6km，

，∠EAF＝60°，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短．请你帮助规划部门确定ME+EC+CF+MF是否有最小值．若存在，请求出ME+EC+CF+MF的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-07-18 难度:1 相似度:2

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196803. （2024•铁一中学•九上期末）探究与证明
（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；
类比迁移
（2）如图2，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=3，AF=4，连接EF，把三角形AEF沿EF翻叠，若点A的对应点G恰好落在边BC上，则BE的长为；
拓展应用
（3）如图3，有一个矩形广场ABCD，AB=30，AD=50，广场上要修两条小路EF、EG，要求点E、F、G分别在边AB、AD、BC上，且BE=20，EF=EG，∠FEG=60°，广场上五边形EFDCG内部将进行绿化，请求出绿化面积．
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共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:2

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196827. （2024•铁一中学•八下期末）（1）△ABC与△ADE如图1所示位置摆放，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，△ADE绕点A按逆时针方向旋转至图2的位置，连接BD，CE，求证：BD=CE．
（2）如图3，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=6，则BC+CD= ．
（3）如图4，△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．连接DE，点F与点D关于直线AC对称，连接DF、EF．猜想线段AE、BE、DF之间的数量关系，并证明． $德优题库$

共享时间:2024-07-08 难度:1 相似度:2

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197013. （2024•交大附中•八上期末）【问题引出】
（1）如图1．在△ABC中，AB=BC=5，AC=8，若D为AC边上一点，BD平分△ABC的面积，则BD的长为．
【问题延伸】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D在BC边上，且BD=1，若P为AC边上一点，DP平分△ABC 的面积，求AP的长．
【问题拓展】
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴上，已知∠AOC=60°，∠OAB=150°．∠ABC=120°．OA=2，OC=10．若P为OC边上一点．且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标．
$德优题库$

共享时间:2024-03-01 难度:1 相似度:2

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dyczsxyn

2025-04-08

初中数学 | | 解答题

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