如图点是线段上的点在上方作等边连接若则的长是如图在正方形中点是边上一点连接将边绕点顺时针旋转点的对应点落在上若则的长为多少如图在矩形中点为上一点将绕着点逆时针旋转得到点的对应点为连接取的中点连接若在旋转过程中点

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196992. （2024•交大附中•八下期末）（1）如图1，点C是线段AB上的点，在AB上方作等边△CDE，连接AD，BE．若AD＝4，∠A＝∠B＝60°，则BC的长是　　．
（2）如图2，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是边CD上一点，连接AE，将边BC绕点C顺时针旋转，点B的对应点F落在AE上，若∠AFB＝90°，则AF的长为多少？
（3）如图3，在矩形ABCD中，

，点E为BC上一点，

，将△ABE绕着点A逆时针旋转，得到△AFG，点E的对应点为G，连接CG，取CG的中点M，连接AM．若在旋转过程中，点M恰好落在AD边上，求此时△AGM的面积．

共享时间:2024-07-04 难度:1

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[考点]

四边形综合题，

[答案]

（1）4；（2）

；（3）4

或2

．

[解析]

解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝∠A+∠ADC，且∠A＝60°，
∴∠BCE＝∠A，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴BC＝AD＝4．
故答案为：4．
（2）过C作CG⊥BF于点G，则∠CGB＝90°，

∵CF＝CB，
∴BG＝FG＝

BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵∠BCG+∠CBF＝90°，
∴∠ABF＝∠CBG，
又∵AB＝CB，∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△ABF≌△BCG（AAS），
∴AF＝BG，BF＝CG，
设BG＝x，则BC＝CG＝2x，
在Rt△BCG中，BG²+CG²＝BC²，即x²+（2x）²＝5²，
解得x＝

，
∴AF＝BG＝

．
（3）∵BC＝6，
∴BE＝

BC＝2，
∵AB＝2

，
∴AE＝

＝4，
∴BE＝

AE，
∴∠BAE＝30°
如图，取AC中点O，连接OM，
此时OM＝

AG＝2，
∵O到AD的距离为

CD＝

，且2＞

，
∴符合条件的M有两个．

①如图所示，当M靠近D点时，
∵∠AFM＝∠CDM＝90°，∠AMF＝∠CMD，AF＝CD＝2

，
∴△AFM≌△CDM（AAS），
∴FM＝DM，AM＝CM，
设FM＝DM＝x，则AM＝6﹣x，
在Rt△CDM中，x²+（2

）²＝（6﹣x）²，
解得x＝2，即FM＝2，
∴GM＝GF+FM＝4，
∴S_△AGM＝

GM•AF＝4

；

②如图所示，当M靠近A点时，
由前述分析可知M₁和M₂关于AD中点对称，
∴AM＝2，
∴S_△AGM＝

AM•AF＝2

；

综上：△AGM的面积为4

或2

．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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