定义如果一个数的平方等于记为这个数叫做虚数单位把形如为实数的数叫做复数其中叫这个复数的实部叫做这个复数的虚部它的加减运算与整式的加减运算类似复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似例如根据以上信息完成下列问题

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191842. （2024•经开区•七下一月）定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a,b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，
例如：
①i³=i•i•i=i²•i=-1•i=-i；
②（2-i）+（5+3i）=（2+5）+（-1+3）i=7+2i；
③（5+i）（3-4i）=5×3-5×4i+i×3-i×4i=15-20i+3i-4i²=15-17i+4=19-17i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i⁴= ，（2-i）（-1+i）= ，（2+i）²= ；
（2）化简：i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰²³；
（3）请你参照i²=-1这一知识，将m²+49分解成两个复数的积．

共享时间:2024-04-21 难度:3

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[考点]

规律型：数字的变化类，实数的运算，实数范围内分解因式，

[答案]

（1）1，﹣1+3i，3+4i；

（2）﹣1；

（3）（m+7i）（m﹣7i）．

[解析]

解：（1）i⁴＝i•i•i•i＝（﹣1）×（﹣1）＝1，
（2﹣i）（﹣1+i）＝﹣2+2i+i﹣i•i＝﹣2+3i+1＝﹣1+3i，
（2+i）²＝4+4i+i•i＝4+4i﹣1＝3+4i，
故答案为：1，﹣1+3i，3+4i；
（2）i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰²³
＝[i+（﹣1）+（﹣i）+1]+[i+（﹣1）+（﹣i）+1]+…+[i+（﹣1）+（﹣i）]
＝i+（﹣1）+（﹣i）
＝﹣1；
（3）m²+49＝m²﹣49i²＝（m+7i）（m﹣7i）．

[点评]

本题考查了"规律型：数字的变化类，实数的运算，实数范围内分解因式，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

421. （2016•陕西省•副题）计算：（﹣3）²+|2﹣

|﹣

．

共享时间:2016-07-15 难度:2 相似度:1.33

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181174. （2023•爱知中学•九上四月）计算：

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.33

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193131. （2023•经开一中•七下一月）定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a,b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如：
①（2-i）+（5+3i）=（2+5）+（-1+3）i=7+2i
②（5+i）（3-4i）=5×3+5×（-4i）+i×3+i×（-4i）=15-20i+3i-4i²=19-17i
③i³=i•i•i=i²•i=-1•i=-i
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：（2-i）+（-1+i）= ，（2+i）²= ，i^-4= ；
（2）化简：i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰²¹；
（3）请你参照i²=-1这一知识，将m²+25分解成两个复数的乘积．

共享时间:2023-04-12 难度:1 相似度:1.33

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192724. （2024•东城一中•七下一月）观察下列各式：
（x+1）（x-1）=x²-1；
（x²+x+1）（x-1）=x³-1；
（x³+x²+x+1）（x-1）=x⁴-1；
…
（1）根据以上规律可知，（x⁴+x³+x²+x+1）（x-1）= ；
（2）你能否由此归纳出一般性规律：（xⁿ+x^n-1+^n-2+…+x²+x+1）（x-1）= ；
（3）计算1+2+2²+…+2²⁰²³+2²⁰²⁴．

共享时间:2024-04-20 难度:1 相似度:1.33

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191969. （2023•陆港中学•七上一月） $德优题库$ 如图，按照图1、图2、图3的数字规律，则图4的括号中应填数字为．

共享时间:2023-10-29 难度:1 相似度:1.33

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190361. （2025•西工大附中•九上期末）计算：

．

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:1.33

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190184. （2025•蓝田县•八上期末）计算：

．

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:1.33

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462. （2017•陕西省•副题）计算：

﹣（π﹣5）⁰+|2

﹣3|．

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185541. （2023•高新三中•八上期中）计算：﹣1²+（﹣2）³×

﹣

×（﹣

）

共享时间:2023-11-24 难度:1 相似度:1.33

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185143. （2025•滨河中学•九下期中）计算：

．

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.33

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181533. （2023•曲江一中•九上一月）计算：

．

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181312. （2024•未央区•七下二月）计算：

．

共享时间:2024-06-18 难度:1 相似度:1.33

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181122. （2024•爱知中学•月考）计算：

共享时间:2023-12-01 难度:1 相似度:1.33

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196575. （2024•莲湖区•八上期末）计算：

．

共享时间:2024-02-11 难度:1 相似度:1.33

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180191. （2023•唐南中学•八上二月）计算：
（1）

；
（2）

．

共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.33

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2024-04-21

初中数学 | 七年级下 | 解答题

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