定义如果一个数的平方等于记为这个数叫做虚数单位把形如为实数的数叫做复数其中叫这个复数的实部叫做这个复数的虚部它的加减运算与整式的加减运算类似复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似例如根据以上信息完成下列问题

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191842. （2024•经开区•七下一月）定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a,b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，
例如：
①i³=i•i•i=i²•i=-1•i=-i；
②（2-i）+（5+3i）=（2+5）+（-1+3）i=7+2i；
③（5+i）（3-4i）=5×3-5×4i+i×3-i×4i=15-20i+3i-4i²=15-17i+4=19-17i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i⁴= ，（2-i）（-1+i）= ，（2+i）²= ；
（2）化简：i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰²³；
（3）请你参照i²=-1这一知识，将m²+49分解成两个复数的积．

共享时间:2024-04-21 难度:3

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[考点]

规律型：数字的变化类，实数的运算，实数范围内分解因式，

[答案]

（1）1，﹣1+3i，3+4i；

（2）﹣1；

（3）（m+7i）（m﹣7i）．

[解析]

解：（1）i⁴＝i•i•i•i＝（﹣1）×（﹣1）＝1，
（2﹣i）（﹣1+i）＝﹣2+2i+i﹣i•i＝﹣2+3i+1＝﹣1+3i，
（2+i）²＝4+4i+i•i＝4+4i﹣1＝3+4i，
故答案为：1，﹣1+3i，3+4i；
（2）i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰²³
＝[i+（﹣1）+（﹣i）+1]+[i+（﹣1）+（﹣i）+1]+…+[i+（﹣1）+（﹣i）]
＝i+（﹣1）+（﹣i）
＝﹣1；
（3）m²+49＝m²﹣49i²＝（m+7i）（m﹣7i）．

[点评]

本题考查了"规律型：数字的变化类，实数的运算，实数范围内分解因式，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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421. （2016•陕西省•副题）计算：（﹣3）²+|2﹣

|﹣

．

共享时间:2016-07-15 难度:2 相似度:1.33

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462. （2017•陕西省•副题）计算：

﹣（π﹣5）⁰+|2

﹣3|．

共享时间:2017-07-10 难度:2 相似度:1.33

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500. （2018•陕西省•副题）计算：（﹣

）^﹣¹+|2﹣

×（﹣

）．

共享时间:2018-07-03 难度:2 相似度:1.33

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772. （2019•陕西省•副题）计算：﹣2×（

）²+|

﹣3|﹣（﹣65）⁰．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.33

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23676. （2019•高新一中•七上期末）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在着神奇的“黑洞数”现象：
（1）请你用不同的三个数再试试，你发现了什么“神奇”的现象？
（2）请用所学过的知识现象解释一下（1）中的发现．
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