如图已知在四边形中点是边上的中点点为边上一点连接与的延长线交于点求证四边形为矩形若求的值

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190064. （2025•西咸新区•九上期末） $德优题库$ 如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠D，点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，连接CF、CE，DA与CE的延长线交于点G．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若∠1=2∠2，CF=5，求AF+BC的值．

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[考点]

四边形综合题，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（1）证明：∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝∠D，
∴∠BAD＝∠D＝

，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠BCF，∠2＝∠G，
∵∠1＝2∠2，
∴∠BCF＝2∠2，
∴∠FCG＝∠2，
∴∠G＝∠FCG，
∴FG＝CF＝5，
∵点E是AB边上的中点，
∵AE＝BE，
在△AEG与△BEC中，

，
∴△AEG≌△BEC（AAS），
∴AG＝BC，
∴FG＝AG+AF＝BC+AF＝5，
故AF+BC的值为5．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199189. （2022•交大附中•八下期中）（1）如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S_△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为　　．
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝

，PC＝4．求∠APB的度数．
（3）如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S_△PAD＝2S_△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．

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189865. （2025•高新一中•八上期末）问题探索：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AB中点，点E，F分别在边BC，AC上且∠EDF=90°，则DE与DF的数量关系是；
问题解决：
（2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃ABCD，满足AB=80m,BC=20m,∠ABC=120°，∠ADC=60°，花圃内铺设了一条小路BD，BD平分∠ABC，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道DE与小路BD相连，且DE⊥BD，入口点E恰好在BA的延长线上．解答下列问题：
①求证：AD=CD；
②求入口到点A的距离AE的长．
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共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:2

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192605. （2024•翱翔中学•七下一月）发现问题：
（1）如图①，小明在一张纸上画了一条线段PO，他把PO绕点O顺时针方向旋转60°得到线段OQ，连接PQ，通过查资料学习知道了△OPQ为等边三角形，然后他找到OP上一点H，把△OPQ沿QH折叠，发现两侧能完全重合，由此得到以下关系式：
PH OH；PQ QH．（填=，＞，＜）；
探究问题：
（2）如图②，在四边形ABCD中，连接AC，E为AD上一点，AC与BE互相平分，且交于点F，已知△ACD的面积为80，AD=10，求BE的最小值；
解决问题：
（3）如图③，某市文旅部门拟在黄河沿岸围建一个正方形的湿地公园ABCD，AB=13km,点E为AB上一个休息驿站，BE=3km,F为BC上任意一点，根据实际情况，计划设计一个等边△EFG的停车区域，A为入口，让车辆沿AG驶入到停车区，F为出口，若修建一定宽度的公路每公里10万元，请问修建AG路段的费用有无最小值？若有请求出；若没有请说明理由．
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共享时间:2024-04-25 难度:1 相似度:2

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192372. （2024•西工大附中•七下二月）问题提出
（1）如图①，四边形ABCD中，E在CD边上，AD=AE、AB=AC，∠DAE=∠BAC=40°，连结BE交AC于点P，若∠BPC=75°；则∠BCD= ．
问题探究
（2）如图②，已知等边三角形ABC，AB=8，P是其外一点，且∠APB=120°，PC=9，求四边形APBC的周长．
问题解决
（3）某市园林绿化部门为提升城市形象，绿化美化环境，拟在富样路一拆迁后的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为四边形ABCD，如图③所示．其中AB∥CD，∠C=90°，BC=CD，AD段临街道有足够长度，E是小道AB上某小区的入口（点E不在点B处），且AE=200米，设计人员准备将公园分成△ADE，△BDE与△BCD三大部分，F是△ADE内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计∠AEF=∠DAF=45°，AF⊥DF，△ADE内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约5元，留出适当大小的△BDE区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需28000元，△BCD内部种植月季等花卉，平均每平方米约需8元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费）
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共享时间:2024-06-28 难度:1 相似度:2

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192301. （2023•高新一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
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192228. （2024•高新三中•八下二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，BC=4，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为；
问题探究：
（2）如图2，在△ABC中，∠B=60°，点Q在BC上，CQ=12，点P在AB上，AP=4，连接PQ，E、F分别为AC、PQ的中点，求EF的长度？
问题解决：
（3）西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪ABCD内对角线AC右侧修建一个三角形池塘△CMN．如图3，∠BAC=64°，∠MCN=26°，∠MNC=90°，A为草坪入口，B为草坪出口，在人行道AM的中点E处有一个凉亭，在池塘N处是一个观景台．游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
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192152. （2024•高新一中•八下一月）【问题出示】
（1）如图①，等腰△ABC中，∠BAC=30°，BC=BA=16，点M是直线AC上的动点，线段BM的最小值是．
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【问题探究】
（2）如图②，线段BM最短时，在（1）的条件下，线段BN是△ABM的角平分线，点P、Q分别在边BN、BM上运动，连接MP、QP，MP+QP的最小值是
【问题拓展】
（3）如图③，线段BM最短时，在（1）的条件下，点E在边CM上运动，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接MF，求线段MF的最小值．
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距离至少要14米才符合要求．
（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形ABCD各边长都为90米，且两组对边分别平行，∠B=120°，DE长30米，AB边上任意一点F，计划在线段EF、FG、DG上修建三条小路，点G处修建业主活动楼，其中EF=FG，且∠EFG=60°．小区最南边一排（即线段AD处）楼高70米，当线段DG取最小值时，点G处的业主活动楼到线段AD处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由．

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191866. （2024•经开一校(原经发)•八下一月）【问题引出】
（1）如图1．在△ABC中，AB=BC=5，AC=8，若D为AC边上一点，BD平分△ABC的面积，则BD的长为．
【问题延伸】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D在BC边上，且BD=1，若P为AC边上一点，DP平分△ABC 的面积，求AP的长．
【问题拓展】
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴上，已知∠AOC=60°，∠OAB=150°．∠ABC=120°．OA=2，OC=10．若P为OC边上一点．且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标．
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共享时间:2024-04-13 难度:1 相似度:2

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191817. （2023•经开一中•九上二月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
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共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:2

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190594. （2025•交大附中•九上期末）【问题初探】
如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　　；
【应用拓展】
某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形ABCD，经测量，∠B＝30°，∠C＝60°，AB＝75m，BC＝100m，CD＝40m．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃△EMF，E、F在BC边上．为保证整体设计美观实用，要求BE＝CF＝40m，且满足∠EMF＝60°．为了给学生提供休息区域，计划在AB边上建造凉亭N和两条小路DN及NM．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭N到点B的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：

，

）

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190494. （2025•碑林区•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，AD与BE相交于点C，连接AB，DE，∠A＝∠E，

，若AB的长为21，求DE的长；
【问题解决】
（2）如图2，四边形ABCD是一个植物园的花卉区，经测量，AB＝BC＝CD＝AD，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线AC上取一点E，在边BC的延长线上取一点F，连接BE，EF，DF，EF与CD交于点G，根据工作人员的规划要求，BE与EF相等，EF与CD互相垂直，在扩建部分（△CDF区域内）新增加一种花卉，请你判断∠CDF与∠ADC之间的数量关系，并说明理由．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:2

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190395. （2025•西工大附中•八上期末）（1）发现问题
如图①，已知在△ABC中，AC=AB，∠BAC=30°，点O为△ABC内一点，且OB=OC=BC，连接AO，则∠AOC的度数为．
（2）探究问题
如图②，在（1）的条件下，作CD⊥AC，且CD=CA，连接AD、BD，求∠ABD的度数．
（3）解决问题
如图③，已知四边形ABCD为某公园拟设计的一处休闲广场，AD、BD为两条主干道，且DA=DB，AD⊥BD，设计人员计划在△ABD内确定一点E，满足以下条件：AD=AE，∠DAE=30°，DE⊥CE，DE=CE．现准备在C、E两处建造两个凉亭，DE、EB、BC、CD为休闲小道，若DE=60米，试求四边形BCDE的面积．
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共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:2

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190372. （2025•西工大附中•九上期末）（1）如图①，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6．点P为AB上动点，则CP长度的最小值为．
（2）如图②，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．点P为平面内一点，CP=1，PQ⊥AB于点Q．求PQ长度最小值．
（3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形ABCD中，AB=CD=40米，AD=BC=30米，∠ABC=90°．种植方案是：将四边形ABCD分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点E、F在AB、DC上，AE=2DF，CQ⊥EF于点P，交AD于点Q．现决定先对△ABP区域进行种植实验，请你确定△ABP的面积是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面积最小值；若没有最小值，请说明理由．
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190169. （2025•蓝田县•九上期末） $德优题库$ 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC边上的点，且BE⊥AF交AF于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：AE=DF；
（2）如图②，若四边形ABCD是矩形，BM平分∠ABC分别交AD、AF于点M、H，当点E为AM的三等分点，且AB=9，BC=12时，求HM的长．

共享时间:2025-02-01 难度:1 相似度:2

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190142. （2025•莲湖区•九上期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠FCB＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）连接BF，若

，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求矩形AECF的面积．

共享时间:2025-02-27 难度:1 相似度:2

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dyczsxyn

2025-02-08

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市西咸新区九年级（上）期末数学试卷

更新:2025-02-08 10:27浏览量:20

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