如图在中点在边上若求的长小明的解题思路如图将绕点按逆时针方向旋转得到连接可证最后在中可求得的长即的长请你写出与全等的证明过程求出的长某公园有一块三角形空地图其中为了美化环境蓄洪防涝公园管理人员拟在中间挖出一个三角形人工

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185722. （2024•二十六中•八下期中）（1）如图1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E在边BC上，∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE的长．
小明的解题思路：如图2，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF．可证△AEF≌△AED，最后在△FCE中可求得EF的长，即ED的长．
①请你写出△AEF与△AED全等的证明过程．
②求出DE的长．
（2）某公园有一块三角形空地ABC（图3），其中，AB=AC=3km,∠BAC=120°．为了美化环境，蓄洪防涝，公园管理人员拟在△ABC中间挖出一个三角形人工湖，即△ADE，D，E是边BC上的点，要求∠DAE=60°，∠ADE=75°，求DE的长．
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[考点]

含30度角的直角三角形，几何变换综合题，半角模型，

[答案]

（1）①见解析；

②DE的长为

；

（2）DE的长为

km．

[解析]

（1）①证明：由旋转的性质得：AF＝AD，∠BAD＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠CAF+∠CAE＝45°，
即∠FAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△AEF和△AED中，

，
∴△AEF≌△AED（SAS）；
②解：由（1）可知：△AEF≌△AED，
∴EF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由旋转的性质得：∠ACF＝∠B＝45°，CF＝BD＝3，
∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
EF＝

＝

，
∴DE＝EF＝

，
即DE的长为

；
（2）如图，将△ACE绕着点A按顺时针旋转120°得到△ABF，连接DF，
∴△ACE≌△ABF，AE＝AF，CE＝BF，∠C＝∠ABF，∠EAF＝60°，
∵AB＝AC＝3km，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，BC＝3

km，
∴∠ABF＝∠C＝30°，

∴∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠DAF＝∠DAE＝60°，
在△ADE与△ADF中，

，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴∠ADE＝∠ADF，DE＝DF，
∵∠ADE＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠ADF＝30°，
∴∠BFD＝90°，
设CE＝x km，
在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，BF＝x km，
∴BD＝2x km，DF＝DE＝

x km，
∴2x+x+

x＝3

，
解得x＝

，
∴DE的长为

km．

[点评]

本题考查了"含30度角的直角三角形，几何变换综合题，半角模型"，属于"综合题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

176001. （2024•交大附中•八上一月）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别为x,y轴上一点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接BC．
$德优题库$
（1）如图1，若点A（6，0），B（0，12），则点C的坐标为．
（2）如图2，若点A为x轴上一动点，点B（0，12），使得S_△BOC=2S_△AOB，求点C的坐标．
（3）如图3，若点B为y轴上一动点，点A（6，0），请问△OAC的周长是否有最小值？若有，求△OAC的周长的最小值并求点C的坐标；若没有，请说明理由．

共享时间:2024-10-10 难度:1 相似度:1.33

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181082. （2023•西安市航天城第一中学•九上二月）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2．连接AA₁，CC₁若AA₁=4

√

，求CC₁的长；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁求线段EP₁长度的最大值与最小值．
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共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:1.33

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179809. （2025•交大附中•八下期中）【问题提出】
（1）如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D为BC上一点，将△ADC绕点A逆时针旋转90°，D的对应点为D'，则∠D′BC＝　 °．
【问题探究】
（2）如图②，△ABC为等边三角形，D，E为边BC上的点，已知CE＝BD＝2，∠DAE＝30°，求△ABC的边长．
【问题解决】
（3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地△ABC，用来种植花卉，如图③，其中∠ABC＝45°，D为AC边上一点，E为BC边上一点，BD，DE是规划过程中修建的两条小路，要求AD＝12

m，∠ADB＝45°，DE⊥AC，且DE＝9

m，现计划在四边形ABED区域内种植三色堇，在△DEC区域内种植石竹，经了解．种植三色堇的费用为30元/m²，种植石竹的费用为40元/m²，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计）

共享时间:2025-05-24 难度:1 相似度:1.33

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179826. （2025•西安八十三中•八下期中） $德优题库$ 如图，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，请用尺规在AC边上找一点P，使得PC+PB=AC．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.33

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179954. （2024•高新陆港•八下期中）【问题发现】
（1）崔老师在铁一陆港中学八年级数学学科活动中引导学生研究了三角形的旋转变换，如图①，在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一动点，连接CD，CD绕点C逆时针旋转90°，得到CE，CE的最小值是　　；
刘老师让同学们研究了以下问题：
【问题探究】
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是边AB上的一动点，连接CD，CD绕点C逆时针旋转90°，得到CE，连接BE，求出△BDE的面积的最大值；
韩老师又让同学们研究了以下问题：
【问题解决】
（3）如图③，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，

，点D是边BC的中点，点E是AB上任意一点，连接DE，DE绕点D逆时针旋转60°，得到DF，连接EF，此时△BEF的面积是否存在最大值；若存在，求出△BEF的面积的最大值；若不存在请说明理由．（E、F在BC的两侧）

共享时间:2024-05-16 难度:1 相似度:1.33

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173721. （2024•经开一中•八上一月）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D为BC边上一动点，将△ACD沿直线AD折叠，得到△AFD，请解决下列问题．
（1）①AB＝　　；
②当点F恰好落在斜边AB上时，CD＝　；
（2）如图2，连接CF，当△CBF是以CF为底边的等腰三角形时，求出此时点F到直线AC的距离；
（3）如图3，E为边BC上一点，且CE＝4，连接EF，当△DEF为直角三角形时，且∠DEF＝90°，此时求出CD的长．（请写出所有满足条件的CD长）

共享时间:2024-10-22 难度:1 相似度:1.33

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173672. （2024•莲湖区•九上四月）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．

（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）如图2，连接ED，若CD＝3，

，求AB的长；
（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．

共享时间:2024-01-14 难度:1 相似度:1.33

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173557. （2024•铁一中学•八上一月）问题：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E为BC边上的两点，∠DAE＝45°，线段BD、DE和EC之间有怎样的数量关系？
小涵同学的思路是：如图2所示，将△ABD沿着AD折叠得△ADB′，连接E′，利用图形折叠与全等三角形的知识可使问题得到解决．请你参考小涵同学的思路，探究并解决以下问题：

（1）直接写出上面问题中，线段BD、DE和EC之间的数量关系．
（2）如图3，当点E在BC延长线上时，线段BD、DE和EC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
（3）如图4，在图3的基础上，F是AE上一点，FC⊥DE，若BE＝6，FC＝1，

，试求AB的长．

共享时间:2024-10-18 难度:1 相似度:1.33

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173134. （2024•高新三中•八上一月）回顾旧知
（1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使PA+PB最小？将下面解决问题的思路补充完整．

解决问题的思路
可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中!据此，在l上任取一点P'，作点A关于l的对称点A'，AA'与直线l相交于点C．连接P'A'，易知△AP'C≌　△A′P'C　，从而有P'A＝P'A'．这样，在△A'P'B中，根据“
　两点之间，线段最短　”可知A'B与l的交点P即为所求．

解决问题
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，E，F为AB上的两个动点，且AE＝BF，求CE+CF的最小值．
变式研究
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝5，BC＝4，点D，E分别为AB，AC上的动点，且AD＝CE，请直接写出CD+BE的最小值．

共享时间:2024-10-15 难度:1 相似度:1.33

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180986. （2024•高新二中•八下一月）综合与探究
在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角度记为α．
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（1）操作与证明：如图1，若α=60°，点D为边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接DE，CE．写出BD和CE的数量关系：，∠BCE= °；
（2）探究与发现：如图2，若α=90°，点D变为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接DE，CE．试判断BD和CE的数量关系，并说明理由；
（3）判断与思考：在（2）的探究中，若α=90°，BC=3，点D为直线BC上一点，当CD=1时，直接写出DE的长．

共享时间:2024-04-24 难度:1 相似度:1.33

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181025. （2024•西光中学•八下一月） $德优题库$ 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，请你利用尺规在BC边上找一点P，使得BP=2PC．（不写作法，保留作图痕迹）

共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:1.33

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179453. （2024•高新一中•九上期中）在一次海上救援中，专业救助船B接收到基地C的指示，在专业救助船B的正南方向上有一艘遇险渔船A需要救援，现在已知专业救助船B在基地C的北偏西48.3°的方向上，且相距20海里，遇险渔船A在基地C的南偏西30°的方向上，若专业救助船B以40海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救援位置？（结果保留整数，参考数据：sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，sin78.3°≈0.98，

≈1.73）

共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:1.33

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179133. （2025•师大附中•八下期中） △ABC是等边三角形，点D为线段BC上任意一点，连接AD，E为直线AB上一点．

（1）如图1，当点D为BC中点时，点E在AB边上，连接DE．若AE＝2，BE＝6，则DE的长为　2

　；
（2）如图2，若点E为AB延长线上一点，且BE＝CD，点F为CB延长线上一点，且∠FAD＝60°．猜想线段AF，EF，AD之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段AD上一点，连接ME，将线段ME绕点E顺时针旋转60°得到线段EN，连接MN，BN，DN．请直接写出BN+DN的最小值．

共享时间:2025-05-21 难度:1 相似度:1.33

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185029. （2024•雁塔二中•八下一月） $德优题库$ 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，请你利用尺规在BC边上找一点P，使得BP=2PC．（不写作法，保留作图痕迹）

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:1.33

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185034. （2024•雁塔二中•八下一月）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A=90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
$德优题库$
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC=13，DE=7，求CE的长．
（3）当旋转角α= 时，△ABD的面积最大．

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:1.33

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2024-05-20

初中数学 | 八年级下 | 解答题

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2023-2024学年陕西省西安二十六中等校联考八年级（下）期中数学试卷

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