如图在矩形中点为坐标原点点的坐标为点在坐标轴上点在边上直线直线已知点在第一象限且是直线上的点若是等腰直角三角形则点坐标是

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185650. （2024•铁一中学•八下期中）如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A，C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l₁：y=2x+3，直线l₂：y=2x-3．已知点M在第一象限，且是直线l₂上的点，若△APM是等腰直角三角形，则点M坐标是．
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共享时间:2024-05-29 难度:2

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[考点]

一次函数的性质，矩形的性质，

[答案]

（

，

）、（2，1）或（

，

）．

[解析]

解：①若点A为直角顶点，点M在第一象限，AM＝AP，如图1所示，
过点P作PF⊥y轴于点F，过点M作MN⊥y轴于点N，则Rt△AMN≌Rt△PAF，
∴MN＝AF，AN＝PF＝4，
∴点M的纵坐标是7，
将y＝7代入y＝2x﹣3，得x＝5，
∴MN＝5，
∴AF＝5，
∴点P的坐标为（4，﹣2），
∵点P在边BC上，
∴此种情况不存在；
②若点P为直角顶点，点M在第一象限，如图2所示，
过点M作MN⊥CB交CB的延长线于点N，
则Rt△ABP≌Rt△PNM，
∴AB＝PN＝4，BP＝NM，
设点M的坐标为（x，2x﹣3），则MN＝x﹣4，故BP＝x﹣4，
∵CN＝BC+PN﹣BP，
∴2x﹣3＝4+3﹣（x﹣4），
解得，x＝

，
∴2x﹣3＝

，
即点M的坐标为（

，

）；
③若点M为直角顶点，点M在第一象限，如图3所示，
设点M₁的坐标为（x，2x﹣3），
过点M₁作M₁G₁⊥y轴，交y轴于点G₁，交BC于点H₁，
则Rt△AM₁G₁≌Rt△M₁PH₁，
∴AG₁＝M₁H₁＝3﹣（2x﹣3）＝﹣2x+6，
又∵M₁H₁＝4﹣x，
∴﹣2x+6＝4﹣x，
解得，x＝2，
∴2x﹣3＝1，
∴点M₁的坐标为（2，1）；
设点M₂的坐标为（a，2a﹣3），同理可得，4﹣a＝2a﹣3﹣3，解得，a＝