在通过构造全等三角形解决问题的过程中有一种方法叫做倍长中线法如图是的中线且延长至点使连接可证得其中判定全等的依据为如图是的中线点在的延长线上求证如图是的中线试探究线段与的数量和位置关系并加以证明

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185624. （2024•铁一中学•七下期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
（1）如图（1），AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为：．
（2）如图（2），AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD．
（3）如图（3），AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．
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共享时间:2024-05-10 难度:1

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[考点]

三角形综合题，

[答案]

（1）SAS；

（2）证明见解析；

（3）EF＝2AD，EF⊥AD，证明见解析．

[解析]

（1）解：延长AD至点E，使ED＝AD．
在△ADC和△EDB中，

，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）证明：延长AD至M，使DM＝AD，

∵AD是△ABC的中线，
∴DB＝CD，且∠ADB＝∠MDC，AD＝DM
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，
∵AB＝CE，
∴CM＝CE，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴∠B+∠BAC＝∠ACB+∠MCD，
即∠ACM＝∠ACE，且AC＝AC，CM＝CE，
∴△ACM≌△ACE（SAS）．
∴AE＝AM，
∵AM＝2AD，
∴AE＝2AD．
（3）解：EF＝2AD，EF⊥AD，证明如下：
如图，在AD的延长线上截取DH＝AD，连接CH，

则AH＝2AD，
∵AD是△ABC 的中线，
∴CD＝BD，
∴△CDH≌△BDA（SAS），
∴CH＝AB，∠AHC＝∠BAE，
∵AB＝AE，∠BAH＝90°，
∴CH＝AE，∠AHC＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，
∵∠FAC＝90°，
∴∠FAE+∠CAH＝90°，
∴∠FAE＝∠ACH，
∴△FAE≌△ACH（SAS），
∴EF＝AH，∠AEF＝∠AHC＝90°，
∴EF＝2AD，EF⊥AD．

[点评]

本题考查了"三角形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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