问题探究如图点分别是边上的点且则与的高之比为如图在中矩形的顶点分别在边上顶点在边上若设求当取何值时矩形面积最大问题解决某市进行绿化改造美化生态环境如图现有一块四边形的空地计划改造公园经测量且按设计要求要在四边

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173034. （2024•高新一中•九上二月）问题探究：
（1）如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，

，则△ADE与△ABC的高之比为　　；
（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，S_△ABC＝50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大．
问题解决：
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB＝50m，BC＝100m，CD＝72m，且∠B＝∠C＝60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）

共享时间:2024-12-16 难度:2

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[考点]

二次函数的应用题，相似三角形的应用，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD＝

BD，
∴AD：AB＝1：4，
∴△ADE和△ABC的相似比是

，
∴△ADE与△ABC的高之比等于相似比是

．
故答案为：

．
（2）作AN⊥BC于N，交DE于M，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AM：AN，
∵△ABC的面积＝

BC•AN＝50，BC＝10，
∴AN＝10，
∵DG＝x，
∴MN＝x，AM＝10﹣x，
∴DE：10＝（10﹣x）：10，
∴DE＝10﹣x，
∴矩形DEFG的表面积＝DE•DG＝（10﹣x）•x＝﹣（x﹣5）²+25，
∴当x＝5时，矩形DEFG的面积最大；
（3）延长BA，CD交于O，作DH⊥AO于H，
当矩形PQMN的面积最大时，费用最小，
∵PQ∥BC，
∴△OQP是等边三角形，
∴OA＝OB﹣AB＝100﹣50＝50（m），OD＝OC﹣CD＝100﹣72＝28（m），
令PQ＝x m，则OQ＝PQ＝PO＝x m，
∴BQ＝（100﹣x）m，
∵sin∠B＝

，
∴QM＝

（100﹣x），
∴矩形PQMN的面积＝PQ•MQ＝

（100﹣x）x＝﹣

（x﹣50）²+1250

，
∴矩形PQMN面积的最大值是1250

m²，
∵DH＝

OD＝14

m，
∴△OAD的面积＝

OA•DH＝

×50×14

＝350

（m²），
∵△OBC的面积＝

BC²＝

×100²＝2500

（m²），
∴四边形ABCD的面积＝△OBC的面积﹣△OAD的面积＝2500

﹣350

＝2150

（m²），
∴种植花卉的面积＝2150

﹣1250

＝900

（m²），
∴此时绿化改造所需费200×900

+80×1250

＝280000

（元），
∴绿化改造所需费用至少为280000

元．

[点评]

本题考查了"二次函数的应用题，相似三角形的应用，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27857. （2023•爱知中学•九上期末）有一种工艺品很受大家喜欢，某工厂原来有6条生产线，为了加快生产，工厂准备改造生产线，如果增加x条生产线后，每条生产线可以生产y个工艺品，经过市场调查发现：y与x满足的关系式为y=-10x+100．如果设该厂每天可以生产的工艺品w个．
（1）请写出w与x的函数关系式；
（2）请求出该工厂增加多少条生产线时，每天生产的工艺品的数量最多，最多为多少个？

共享时间:2024-01-30 难度:1 相似度:1.5

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872. （2013•陕西省•真题）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.5

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27754. （2023•航天中学•九上二月） $德优题库$ 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高点C离地面AA₁的距离为8m.
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m,宽为4m,如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

共享时间:2023-10-10 难度:1 相似度:1.5

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25782. （2024•高新一中•五模）某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表．

飞行水平距离x/m	0	20	30	50	80	…
飞行高度y/m	0	40	54	70	64	…

根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM=125m,MN=5m,若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
$德优题库$

共享时间:2024-04-20 难度:4 相似度:1.5

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25737. （2023•滨河中学•七模）如图，小超想要测量窗外的路灯PH的高度．星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，经过窗户的最高点C的灯光落在地板B处，经过窗户的最低点D的灯光落在地板A处，小超测得窗户距地面的高度QD=1m,窗高CD=1.5m,并测得AQ=1m,AB=2m.请根据以上测量数据，求窗外的路灯PH的高度．
$德优题库$

共享时间:2024-03-12 难度:4 相似度:1.5

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25734. （2023•西工大附中•八模）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC=120米，DE=210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
$德优题库$

共享时间:2024-03-12 难度:3 相似度:1.5

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25731. （2023•爱知中学•一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律．
【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5m,点F到地面的高度CF=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,本板到墙的水平距离为CD=4m.图中点A，B，C，D在同一条直线上．
（1）求BC的长；
（2）求灯泡到地面的高度AG．
$德优题库$

共享时间:2024-03-12 难度:3 相似度:1.5

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21435. （2020•铁一中学•八模）小亮想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，第一次他把镜子水平放置在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子水平放置在D点，人在G点正好看到树尖A，已知B、C、F、D、H在水平地面的同一直线上，小亮的眼睛距离地面1.7m，得CD=34m，CF=1.7m，DH=3.4m，请你求出松树的高．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.5

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996. （2018•陕西省•真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

共享时间:2018-07-02 难度:3 相似度:1.5

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958. （2016•陕西省•真题）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

共享时间:2016-07-11 难度:3 相似度:1.5

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20475. （2020•铁一中学•八模）小亮想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，第一次他把镜子水平放置在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子水平放置在D点，人在G点正好看到树尖A，已知B、C、F、D、H在水平地面的同一直线上，小亮的眼睛距离地面1.7m，得CD=34m，CF=1.7m，DH=3.4m，请你求出松树的高．
$德优题库$

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:1.5

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841. （2014•陕西省•真题）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；
②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.5

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781. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.5

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352. （2012•红星高中•真题）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）

共享时间:2020-07-03 难度:4 相似度:1.5

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808. （2015•陕西省•真题）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.5

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2024-12-16

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中、唐南中学九年级（上）第二次月考数学试卷

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