已知定义域为的函数是奇函数求的值并判断函数的单调性给出单调性即可不要求证明设关于的函数有零点求实数的取值范围

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172377. （2021•西安中学•高一上期中）．已知定义域为R的函数

是奇函数．
（1）求a的值，并判断函数的单调性（给出单调性即可，不要求证明）；
（2）设关于x的函数F（x）＝f（4^x﹣b）+f（﹣2^x⁺¹）有零点，求实数b的取值范围．

共享时间:2021-11-10 难度:1

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[考点]

由函数的零点求解函数或参数，

[答案]

（1）a＝1，f（x）在R上为减函数；（2）[﹣1，+∞）．

[解析]

解：（1）定义域为R的函数

是奇函数，可得f（0）＝0，
即

＝0，解得a＝1，
则f（x）＝

，f（﹣x）+f（x）＝

＝

＝0，
即f（x）为奇函数，故a＝1；
由f（x）＝﹣1+

，可得f（x）在R上为减函数；
（2）因为关于x的函数F（x）＝f（4^x﹣b）+f（﹣2^x⁺¹）有零点，
所以F（x）＝0，即f（4^x﹣b）+f（﹣2^x⁺¹）＝0有解，
即有f（4^x﹣b）＝﹣f（﹣2^x⁺¹）＝f（2^x⁺¹），
由f（x）在R上为减函数，可得4^x﹣b＝2^x⁺¹，
即b＝4^x﹣2^x⁺¹＝（2^x﹣1）²﹣1，
由于2^x＞0，可得b≥﹣1，当x＝0时，取得等号．
所以b的取值范围是[﹣1，+∞）．

[点评]

本题考查了"由函数的零点求解函数或参数，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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2021-11-10

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更新:2021-11-10 10:27浏览量:5

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