已知函数若对任意的都存在唯一的满足则实数的取值范围是

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171566. （2023•滨河中学•高一上期中）已知函数f（x）＝

，若对任意的x₁∈[2，+∞），都存在唯一的x₂∈（﹣∞，2），满足f（x₂）＝f（x₁），则实数a的取值范围是　　．

共享时间:2023-11-16 难度:1

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[考点]

分段函数的应用，

[答案]

[0，4）．

[解析]

解：当x≥2时，f（x）＝

＝x+

＝4，
当且仅当x＝

，即x＝2时，等号成立，
∴y＝f（x）在[2，+∞）上的值域为[4，+∞），
当x＜2时，f（x）＝2^|x﹣a|，
①当a≥2时，f（x）＝2^a^﹣x在（﹣∞，2）上单调递减，
要使对任意的x₁∈[2，+∞），都存在唯一的x₂∈（﹣∞，2），满足f（x₂）＝f（x₁），
则2^a^﹣2＜4，即a＜4，
∴2≤a＜4，
②当a＜2时，f（x）＝2^|x﹣a|在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，2）上单调递增，又f（a）＝1＜4，
要使对任意的x₁∈[2，+∞），都存在唯一的x₂∈（﹣∞，2），满足f（x₂）＝f（x₁），
则2^|2﹣a|≤4，即0≤a≤4，
又∵a＜2，
∴0≤a＜2，
综上所述，实数a的取值范围是[0，4）．
故答案为：[0，4）．

[点评]

本题考查了"分段函数的应用，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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的取值范围为　　．

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