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171098. (2024•西安三中•高二上期中) 已知F是抛物线Cy2=2px的焦点,直线AB经过点F交抛物线于AB两点,则下列说法正确的是(  )

A.AB为直径的圆与抛物线的准线相切

B.,则直线AB的斜率k=3 

C.AB的中点M的轨迹为一条抛物线,其方程为y2=2pxp2

D..若p=4,则|AF|+4|BF|的最小值为18

共享时间:2024-11-16 难度:1
[考点]
抛物线的焦点与准线,
[答案]
AD
[解析]
解:A.由抛物线的方程可得焦点F,0),准线方程为:x=﹣
Ax1y1),Bx2y2),则AB的中点M),
利用焦点弦的性质可得|AB|=x1+x2+p,而AB的中点M到准线的距离d﹣(﹣)=1+x2+p)=|AB|,
∴以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切,因此A正确;
B.设直线AB的方程为xmy+k>0,联立

整理可得:y2﹣2mpyp2=0,
可得y1+y2=2mpy1y2=﹣p2
,∴y1=﹣2y2
解得y2=﹣2mpy1=4mp
∴﹣8m2p2=﹣p2,解得m2
k=2,因此B不正确;
C.设Mxy),结合AB可得:ymp
x+m2p+,消去m可得:2y2=2pxp2,因此C不正确;
D.若p=4,则抛物线Cy2=8x,不妨设x1x2>0,
x1x2=4,∴|AF|+4|BF|=x1+4x2+10=+4x2+10≥4×2+10=18,当且仅当x2=1,x1=4时取等号,因此D正确.
故选:AD
[点评]
本题考查了"抛物线的焦点与准线,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
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dygzsxyn

2024-11-16

高中数学 | 高二上 | 多选题

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2020*西工大*期末
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