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首页 > 试题列表 > 单题解析
170949. （2024•西工大附中•高二上期中） 在四面体P﹣ABC中，BP⊥PC，∠BAC＝60°，BC＝2，若四面体P﹣ABC的体积最大时，则四面体P﹣ABC的外接球的表面积为 　           
共享时间:2024-11-30 难度:5
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[考点]
球的体积和表面积，
[答案]
．
[解析]
解：设△ABC的外接圆的半径为r，
∵在△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，
∴＝，∴r＝，
又四面体P﹣ABC中，BP⊥PC，BC＝2，
∴△PBC为以BC为斜边的直角三角形，
∴P到BC的距离的最大值为BC＝1，
若四面体P﹣ABC的体积最大时，则平面PBC⊥平面ABC，
且此时四面体P﹣ABC的高最大为1，
∴要使四面体P﹣ABC的体积最大，只需底面三角形ABC的面积最大，
在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即4＝b2+c2﹣2bc×cos60°，
∴4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，
∴bc≤4，∴S△ABC＝＝，
当且仅当b＝c，即三角形ABC为等边三角形时，底面三角形ABC的面积取得最大值，
综上可得：若四面体P﹣ABC的体积最大时，
则四面体P﹣ABC的外接球为底面正三角形ABC的外接圆的半径r＝，
∴四面体P﹣ABC的外接球的表面积为4πr2＝．
故答案为：．
[点评]
本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。
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166621. （2024•高新一中•二模） 在四面体P﹣ABC中，BP⊥PC，∠BAC＝60°，BC＝2，若四面体P﹣ABC的体积最大时，则四面体P﹣ABC的外接球的表面积为 　       ．
共享时间:2024-03-18 难度:5 相似度:2
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232715. （2024•高新一中•高一下二月） 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥P﹣ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的表面积为 　          ．

共享时间:2024-06-11 难度:1 相似度:2
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232350. （2023•铁一中学•高二上一月） 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD的中点，F是CC1上的动点，则三棱锥A﹣DEF外接球表面积的最小值为　    　．
共享时间:2023-10-22 难度:1 相似度:2
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232261. （2023•铁一中学•高三上一月） 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把△AEF，△CBE，△CFD折起构成一个三棱锥P﹣CEF（A，B，D重合于P点），则三棱锥P﹣CEF的外接球与内切球的面积之比是 　    　．

共享时间:2023-10-22 难度:1 相似度:2
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231980. （2024•师大附中•高一下二月） 德优题库如图，三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是边长为2的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为        ．
共享时间:2024-06-19 难度:1 相似度:2
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231699. （2015•西安八十三中•二模） 把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为　        ．
共享时间:2015-03-15 难度:1 相似度:2
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231071. （2016•西安一中•一模） A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝4，AB＝2，则该球的表面积为　        　．
共享时间:2016-03-14 难度:1 相似度:2
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230586. （2025•西工大附中•十三模） 在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1＝2，AB＝4，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（　　）
A．          B．           C．     D．8π
共享时间:2025-07-25 难度:1 相似度:2
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236280. （2017•西安一中•高一上期末） 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为2，则其外接球的表面积是　    　 ．
共享时间:2017-02-17 难度:1 相似度:2
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172001. （2023•西工大附中•高一下期中） 正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为　　 ．
共享时间:2023-05-10 难度:1 相似度:2
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236390. （2017•高新一中•高二上期末） 如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝1，AB＝3，BC＝，，则该三棱锥外接球的表面积为　   　 ．

共享时间:2017-02-11 难度:1 相似度:2
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171215. （2024•师大附中•高一下期中） 在四面体P﹣ABC中，PA⊥PB，PA＝PB＝3，AC＝2，BC＝，则该四面体外接球的表面积为 　    　 ．
共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:2
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233204. （2023•长安区一中•高一下二月） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PD＝3，∠APD＝∠BAD＝，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为 　   　．

共享时间:2023-06-23 难度:1 相似度:2
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233319. （2023•西工大附中•高一下二月） 网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程．某同学有一圆锥状的木块，想把它打磨成“车珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm，体积为96πcm3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积的最大值是 　   　cm3．
共享时间:2023-06-23 难度:1 相似度:2
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170547. （2021•西安中学•高一上期末） 已知棱长为1的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点均在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则该半球体（包括底面）的表面积为 　      ．
共享时间:2021-02-10 难度:1 相似度:2
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2024-11-30

高中数学 | 高二上 | 填空题

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2020*西工大*期末
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