在直四棱柱中底面是边长为的正方形点在线段上且满足过点作直四棱柱外接球的截面所得的截面面积的最大值与最小值之差为则直四棱柱外接球的表面积为

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170115. （2023•铁一中学•高三上期末）在直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，过点E作直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为12π，则直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁外接球的表面积为（　　）

A.100π

B.．80π

C.64π

D.．32π

共享时间:2023-02-08 难度:5

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相似

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[考点]

球的体积和表面积，

[答案]

[解析]

解：∵四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且底面是正方形，
∴其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，
则OG＝

AA₁，连接BD，∵底面ABCD是边长为6的正方形，∴G为BD的中点，
取AD的中点F，连接OF，OE，OB，
设AA₁＝2a，则OG＝a，∴外接球的半径R＝OB＝

＝

．
∵点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，则EF＝DF﹣DE＝

AB＝1，
又FG＝

AB＝3，∴OF＝

．
∵直四棱柱中，AB⊥侧面ADD₁A₁，FG∥AB，∴FG⊥侧面ADD₁A₁，
∴FG⊥AD，又OG⊥底面ABCD，
∴OG⊥AD，又FG∩OG＝G，∴AD⊥平面OFG，则OF⊥AD．
则OE＝

＝

．
根据球的特征，过点E作直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的外接球的截面，
当截面过球心时，截面面积最大，此时截面面积为πR²，
当OE垂直于截面时，此时截面圆的半径为

．
∴此时截面面积为S₁＝π

＝π（R²﹣OE²）．
又截面面积的最大值与最小值之差为12π，
∴S﹣S₁＝πR²﹣π（R²﹣OE²）＝π•OE²＝12π，
因此a²+10＝12，即a²＝2，则R＝

，
∴直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁外接球的表面积为4π×20＝80π．
故选：B．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166355. （2024•长安区一中•高三上四月）如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且AC⊥BD，OA＝1，OB＝OC＝OD＝2，剪去△COD，将△AOD沿OA翻折，△BOC沿OB翻折，使点C与点D重合于点P，则翻折后的三棱锥P﹣AOB外接球的表面积为（　　）

A.5π

B.8π

C.9π

D.13π

共享时间:2024-02-12 难度:5 相似度:2

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169113. （2020•西工大附中•三模）已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝2，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为（　　）

A.16π

B.．12π

C.10π

D.．8π

共享时间:2020-04-03 难度:5 相似度:2

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171879. （2023•长安区一中•高一下期中）在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA₁＝4，点P为B₁C₁的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（　　）

A.．

C.．

D.．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:2

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171773. （2022•师大附中•高三上期中）已知三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2

，二面角B﹣AC﹣S的大小为

，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（　　）

B.．

C.．

D.．

共享时间:2022-11-13 难度:5 相似度:2

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171512. （2024•高新一中•高一下期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则其棱切球的表面积是（　　）

A.．π

B.2π

C.．8π

D.．12π

共享时间:2024-05-26 难度:1 相似度:2

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171057. （2024•高新一中•高二上期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧棱长为2，AC⊥BC，AC＝BC＝1，点D在上底面A₁B₁C₁（包含边界）上运动，则三棱锥D﹣ABC外接球半径的取值范围为（　　）

A.．

C.．

D.．

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:2

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170544. （2021•西安中学•高一上期末）已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2

．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（　　）

A.．4

B.．6

C.．8

D.．10

共享时间:2021-02-10 难度:1 相似度:2

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170314. （2022•长安区一中•高一下期末）已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，沿对角线AC折成一个四面体，使平面ACD垂直平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（　　）

A.．

B.6π

D.．12π

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170156. （2023•铁一中学•高二上期末）已知三棱台ABC﹣A₁B₁C₁的六个顶点都在球O的球面上，AA₁＝BB₁＝CC₁＝

，△ABC和△A₁B₁C₁分别是边长为

和2

的正三角形，则球O的体积为（　　）

C.36π

D.．

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:2

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170068. （2023•铁一中学•高一下期末）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）