不等式选讲已知函数求不等式的解集若且正数满足证明

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169743. （2023•师大附中•高二下期末）．不等式选讲已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣5|．
（1）求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若f（x）_max＝m，且正数a，b满足a+b＝m，证明：

≥

．

共享时间:2023-07-03 难度:2

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[考点]

绝对值不等式的解法，不等式的证明，

[答案]

（1）x∈（

，+∞）；（2）证明见解析．

[解析]

解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣5|．
∴x＜﹣1时，f（x）＝﹣x﹣1+x﹣5＝﹣6＞3，不成立；
﹣1≤x≤5时，f（x）＝x+1+x﹣5＝2x﹣4＞3，解得x＞

，故f（x）＞3的解集为（

，5]；
x＞5时，f（x）＝x+1﹣x+5＝6＞3，恒成立，
综上所述，等式f（x）＞3的解集为（

，+∞）；
（2）证明：由（1）可知该函数图象为：
由图象可知f（x）_max＝m＝6，
∴a+b＝6，
∵正数a，b，
∴ab≤

＝9，
当且仅当a＝b＝3时，等号成立，
∴

≥

，
∴

≥2

＝2•

≥2•

＝

．
当且仅当a＝b＝3时，等号成立．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/11 15:4

[点评]

本题考查了"绝对值不等式的解法，不等式的证明，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167858. （2024•西工大附中•模拟）．已知函数f（x）＝|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞4﹣|x+1|的解集；
（Ⅱ）设

，若

，求证：a+

．

共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:2

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168738. （2021•西安中学•仿真）已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．
（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b³c+c³a+a³b＞abc．

共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:2

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167881. （2024•西工大附中•模拟）已知函数f（x）＝|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞4﹣|x+1|的解集；
（Ⅱ）设

，若

，求证：a+

．

共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:2

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168531. （2021•西安中学•六模）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x²﹣1|．
（1）当x∈（﹣1，1）时，f（x）＜3，求a的取值范围；
（2）若0＜x＜1，a＞1，求证：f（x）﹣x≥

．

共享时间:2021-05-18 难度:2 相似度:2

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168278. （2021•西安中学•五模）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）≤2；
（2）记函数f（x）的最大值为s，若

＝s（a＞0，b＞0，c＞0），证明：

≥3．

共享时间:2021-05-15 难度:2 相似度:2

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168301. （2022•西工大附中•一模）．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）+f（2x+2）＞3的解集M；
（2）设a，b∈M，求证：

．

共享时间:2022-03-12 难度:2 相似度:2

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167720. （2024•西安一中•五模）已知函数f（x）＝|x﹣2|+3|x|．
（1）求不等式f（x）≥10的解集；
（2）若f（x）的最小值为m，正数a，b，c满足a+b+c＝m，求证a²+b²+c²≥

．

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:2

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167697. （2024•西安中学•五模）．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c＝m．求证：

．

共享时间:2024-05-09 难度:2 相似度:2

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167674. （2024•西安中学•一模）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|，不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）的最小值为M，b+c＝M，求证：

．

共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:2

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168038. （2023•西安中学•七模）已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥|t﹣1|+t有解．
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且2a+b+c＝m．求证：

．

共享时间:2023-06-04 难度:2 相似度:2

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169855. （2023•西安中学•高二下期末）已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）若a＞0，b＞0时，对任意x∈[1，2]，使得不等式f（x）＞x²﹣b+1恒成立，证明：（a+

）²+（b+

）²＞2．

共享时间:2023-07-04 难度:2 相似度:2

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169766. （2023•师大附中•高二下期末）不等式选讲已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣5|．
（1）求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若f（x）_max＝m，且正数a，b满足a+b＝m，证明：

≥

．

共享时间:2023-07-24 难度:2 相似度:2

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168715. （2021•西安中学•仿真）已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．
（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b³c+c³a+a³b＞abc．

共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:2

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170127. （2023•铁一中学•高三上期末）已知函数f（x）＝|x+m|+|x+2|，m∈R
（Ⅰ）若m＝﹣3，求不等式f（x）＞6的解集；
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，此时f（x）的最小值为t，若实数a，b，c满足a²+2b²+4c²＝t，证明：b（a+2c）≤2

共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:2

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171785. （2022•师大附中•高三上期中）设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）当x∈[0，+∞），总有f（x）≤ax+b，求a+b的最小值t；
（2）若正数m，n满足m³+n³＝

t，求证；m+n≤4．

共享时间:2022-11-13 难度:2 相似度:2

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2023-07-03

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2022-2023学年陕西师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）

更新:2023-07-03 11:57浏览量:5

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