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169542. (2024•铁一中学•高二上期末) 已知AB为抛物线yx2上两点,以AB为切点的抛物线的两条切线交于点P,设以AB为切点的抛物线的切线斜率为kAkB,过AB的直线斜率为kAB,则以下结论正确的有(  )

A.kAkABkB成等差数列 

B.若点P在抛物线的准线上,则△ABP不是直角三角形   

C..若点P在直线y=2x﹣2上,则直线AB恒过定点

D..若点P在抛物线x2y+1上,则△ABP面积的最大值为2

共享时间:2024-02-22 难度:5
[考点]
抛物线,
[答案]
AC
[解析]
解:由抛物线的方程可知焦点F(0,),直线方程为y=﹣
因为y'=2x,设Ax1),Bx2),
A选项中,在点A处的切线方程为y=2x1xx1),即y=2x1x
同理可得在B处的切线的方程为y=2x2x
kABx1+x2
而在AB两处的切线斜率之和为kA+kB=2x1+2x2
所以2kABkA+kB,所以kAkBkAB成等差数列,所以A正确;
B选项中,设直线AB的方程为ykx+t
联立,整理可得x2kxt=0,
则Δ=k2﹣4×(﹣t)>0,即4t>﹣k2
x1+x2kx1x2=﹣ty1+y2kx1+x2)+2tk2+2t
联立,两式联立可得x
y=2x1x1x2=﹣t=﹣
Px1x2),即P,﹣t),
所以t,即直线AB的方程为ykx+,恒过焦点F
所以P在准线上时,则△ABP是直角三角形,所以B不正确;
C选项中,若点P在直线y=2x﹣2上,
由选项可知P,﹣t),所以﹣t=2•﹣2,即t=﹣k+2,
所以直线AB的方程为ykxk+2=kx﹣1)+2,
所以直线AB恒过定点(1,2),所以C正确;
D选项中,若P在抛物线x2y+1上,
B选项分析可知,(2=﹣t+1,即k2+4t=4,
弦长|AB|==2
P到直线AB的距离d
所以SPAB|AB|•d•2=2,为定值,所以D不正确.
故选:AC
[点评]
本题考查了"",属于"压轴题",熟悉题型是解题的关键。
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dygzsxyn

2024-02-22

高中数学 | 高二上 | 多选题

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试题题源
2020*西工大*期末
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