已知函数若关于的不等式的解集为求的值已知当时恒成立求实数的取值范围

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167500. （2023•关山中学•高一上三月）已知函数f（x）＝ax²+x+1（a＞0）．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（﹣3，b），求a，b的值；
（2）已知g（x）＝4^x⁺¹﹣2^x+2，当x∈[﹣1，1]时，f（2^x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-01-30 难度:2

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[考点]

由一元二次不等式的解求参数，求指数函数及指数型复合函数的最值，

[答案]

（1）

；

（2）（0，3]．

[解析]

解：（1）∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣3，b），则方程f（x）＝ax²+x+1＝0的根为﹣3，b，且﹣3＜b，
∴

，解得

故

；
（2）f（2^x）＝a（2^x）²+2^x+1＝a•4^x+2^x+1，
故a•4^x+2^x+1≤4^x⁺¹﹣2^x+2，
令

，故

，
则a﹣4≤t²﹣2t，
∵y＝t²﹣2t的开口向上，对称轴为t＝1，
则y＝t²﹣2t在

单调递减，在（1，2]单调递增，
故y＝t²﹣2t在t＝1处取得最小值，最小值为1²﹣2＝﹣1，
∴a﹣4≤﹣1，
又a＞0，解得0＜a≤3，
故实数a的取值范围为（0，3]．

[点评]

本题考查了"由一元二次不等式的解求参数，求指数函数及指数型复合函数的最值，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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237017. （2021•西安一中•高一上期中）已知函数

．
（1）若实数a＝﹣1，当x∈[﹣3，2]时，函数y＝f（x）+m存在零点，求实数m的取值范围；
（2）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．若函数f（x）在[0，+∞）上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-11-27 难度:2 相似度:1

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2023-01-30

高中数学 | 高一上 | 解答题

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