数学家欧拉在年发现任意三角形的外心重心垂心位于同一条直线上这条直线称为欧拉线在中已知若其欧拉线的方程为求外心的坐标重心的坐标

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167126. （2023•西安中学•高二上一月）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线，在△ABC中，已知A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x﹣y+2＝0，求：
（1）外心F的坐标；
（2）重心G的坐标．

共享时间:2023-10-30 难度:1

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[考点]

三角形五心，

[答案]

（1）（﹣1，1）；
（2）

．

[解析]

（1）设AB的中点为H（m，n），则m＝

＝1，n＝

＝2，故H（1，2），
直线AB的斜率

，根据垂直关系，可得AB的垂直平分线的斜率为

，
所以AB的垂直平分线方程为

，化简得x﹣2y+3＝0，
△ABC的外心F在直线x﹣2y+3＝0上，故联立x﹣y+2＝0与x﹣2y+3＝0，
解得

，故外心F的坐标为（﹣1，1）；
（2）设C（s，t），则重心坐标为

即

，
因为重心G在欧拉线x﹣y+2＝0上，故

，整理得s﹣t+4＝0⋯①．
由|FA|＝|FC|得，（﹣1﹣2）²+（1﹣0）²＝（s+1）²+（t﹣1）²⋯②，
联解①②，得

或

，即C的坐标为（﹣4，0）或（0，4），
因为B的坐标为（0，4），且B、C不重合，故（0，4）不合要求，舍去，
即C的坐标为（﹣4，0）满足要求，此时重心坐标为

．

[点评]

本题考查了"三角形五心，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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dygzsxyn

2023-10-30

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更新:2023-10-30 08:27浏览量:5

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