已知函数有零点求实数的取值范围

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166916. （2023•师大附中•高一上二月）已知函数f（θ）＝（24a﹣1）sin²θ+4sinθ﹣cos²θ（θ∈R）有零点，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-12-16 难度:3

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[考点]

二次函数的单调性与单调区间，二次函数的最值，三角函数应用，

[答案]

．

[解析]

解：因为f（θ）＝（24a﹣1）sin²θ+4sinθ﹣cos²θ＝（24a﹣1）sin²θ+4sinθ﹣（1﹣sin²θ）＝24asin²θ+4sinθ﹣1，
所以f（θ）＝0有解，即24asin²θ+4sinθ﹣1＝0有解，
令t＝sinθ，则﹣1≤t≤1，
所以∃t∈[﹣1，1]，使得24at²+4t﹣1＝0成立，
当t＝0时，24at²+4t﹣1＝0不成立，所以t＝0不是方程24at²+4t﹣1＝0的根；
所以∃t∈[﹣1，0）∪（0，1]，使得

成立，
设

，t∈[﹣1，0）∪（0，1]，
令

，则y＝（m﹣2）²﹣4，（m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）），
又y＝（m﹣2）²﹣4在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，
当m＝2时，y＝﹣4，
所以y≥﹣4，
即24a≥﹣4，解得

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"二次函数的单调性与单调区间，二次函数的最值，三角函数应用，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2023-04-30 难度:1 相似度:1.33

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