已知椭圆左焦点设直线与椭圆交于点是椭圆上任意一点证明过作两条互相垂直的直线交椭圆于交椭圆于记四边形面积为求的取值范围设的中点为的中点为直线与直线交于证明

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166740. （2024•交大附中•高二上一月）已知椭圆

，左焦点F（﹣1，0）．
（1）设直线l：y＝kx与椭圆E交于M、N，点P是椭圆上任意一点，证明：

；
（2）过F作两条互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交椭圆于A、C，l₂交椭圆于B、D，
（ⅰ）记四边形ABCD面积为S，求S的取值范围；
（ⅱ）设AC的中点为G，BD的中点为H，直线AB与直线CD交于T，证明

．

共享时间:2024-10-26 难度:5

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[考点]

椭圆的其他性质，

[答案]

（1）证明见解析；

（2）

；

（3）证明见解析．

[解析]

解：（1）证明：由题M，N两点关于原点对称，设M（x₀，y₀），N（﹣x₀，﹣y₀），P（x，y），
则

，

，
所以

＝

，
即

，得证；
（2）（i）若直线l：x＝﹣1，则

，BD＝2a＝4，

；
若直线l₁：y＝0，则l₂：x＝﹣1，故S＝6；若
两直线斜率都存在，设直线l：y＝k（x+1），

，
联立

，消去y得（4k²+3）x²+8k²x+4k²﹣12＝0，
由F在椭圆内部，故Δ＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则有

，

，
则|AC|＝

＝

，
同理可得

．
因为AC⊥BD，所以

，
令t＝k²+1＞1，则

；
综上所述，

．
（ii）证明：如图，取BC中点M，令S、R分别为TG、TH与BC交点，

由G、M分别为AC、BC中点，故GM∥BT，
故S_△TBM＝S_△TBG，则S_△TBM﹣S_△TBS＝S_△TBG﹣S_△TBS，
即S_△TSM＝S_△GSB，
由H、M分别为BD、BC中点，故HM∥CT，故S_△TCM＝S_△TCH，
则S_△TCM﹣S_△TCR＝S_△TCH﹣S_△TCR，即S_△TRM＝S_△HRC，
则S_△GHT＝S_△GHM+S_△TSM+S_△GSM+S_△TRM+S_△HRM＝S_△GHM+S_△GSB+S△_GSM+S_△HRC+S_△HRM＝S_{四边形GBCH}，
由AC⊥BD，
故

＝

．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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dygzsxyn

2024-10-26

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