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166626. （2024•高新一中•二模）已知数集Ω={2⁰，2¹，…，2ⁿ}（n∈N^*）．若Ω的两个非空子集T₁和T₂满足：T₁∩T₂=∅，T₁∪T₂=Ω，则称集合T₁和T₂是Ω的一个“分拆”．
已知A和B是Ω的一个分拆，S（M）表示数集M中所有元素的和．
（Ⅰ）若n=10，A={x|x=2^2k-1，k=1，2，3，4，5}，求S（B）；（用数值表示）
（Ⅱ）证明：S（A）≠S（B）；
（Ⅲ）若n为给定的偶数，关于x的方程x²-S（A）x+S（B）=0有整数根，求S（A）的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合A．

共享时间:2024-03-18 难度:2

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[考点]

元素与集合的属于关系的应用，求函数的最值，

[答案]

（1）1365；
（2）证明见解析；
（3）

；

．

[解析]

解：（1）由题，当n＝10时，

，
又由题可知

，结合题意又可知S（A）+S（B）＝S（Ω），
则S（B）＝S（Ω）﹣S（A）＝2047﹣682＝1365；
（2）证明：由题可知S（A），S（B）均为正整数．
假设S（A）＝S（B），因S（A）+S（B）＝S（Ω），则

．
注意到

为奇数，则

不为整数，
这与S（A），S（B）均为正整数相矛盾，故S（A）≠S（B）；
（3）设S（A）＝t，又由（2）可知S（Ω）＝2ⁿ⁺¹﹣1，结合S（A）+S（B）＝S（Ω），则x²﹣S（A）x+S（B）＝0⇔x²﹣tx+（2ⁿ⁺¹﹣1﹣t）＝0，
因其有整数根，则其判别式Δ＝t²﹣4（2ⁿ⁺¹﹣1﹣t）＝（t+2）²﹣2ⁿ⁺³为完全平方数，
不然x²﹣tx+（2ⁿ⁺¹﹣1﹣t）＝0的根一定含有