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166565. (2024•华清中学•高二上一月) 【题干】如图,在棱长相等的正三棱柱A1B1C1ABC中,DEFP分别为B1C1A1B1A1C1AC的中点.
(1)证明:DP∥平面AEF
(2)求平面AEF与平面BDE的夹角的正弦值.
共享时间:2024-10-24 难度:2
[考点]
直线与平面平行,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,
[答案]
(1)证明见解析;
(2)
[解析]
解:(1)证明:在△A1B1C1DE分别为B1C1A1B1的中点,
所以DE
因为PAC的中点,所以
在三棱柱A1B1C1ABC中,APA1C1,所以DEAPDEAP
所以四边形DEAP是平行四边形,所以DPAE
因为AE⊂平面AEFDP⊄平面AEF,所以DP∥平面AEF
(2)记BC的中点为O,以O为坐标原点,的方向分别为
x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

不妨设正三棱柱A1B1C1ABC所有的棱长均为4,
则点

设平面AEF的法向量为
,取
设平面BDE的法向量为
,取
∴cos<>=
∴平面AEF与平面BDE的夹角的正弦值为:
[点评]
本题考查了"直线与平面平行,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,",属于"易错题",熟悉题型是解题的关键。
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dygzsxyn

2024-10-24

高中数学 | 高二上 |

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2020*西工大*期末
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