如图在棱长相等的正三棱柱中分别为的中点证明平面求平面与平面的夹角的正弦值

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166565. （2024•华清中学•高二上一月）【题干】如图，在棱长相等的正三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，D，E，F，P分别为B₁C₁，A₁B₁，A₁C₁，AC的中点．
（1）证明：DP∥平面AEF．
（2）求平面AEF与平面BDE的夹角的正弦值．

共享时间:2024-10-24 难度:2

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[考点]

直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

（1）证明见解析；

（2）

．

[解析]

解：（1）证明：在△A₁B₁C₁，D，E分别为B₁C₁，A₁B₁的中点，
所以DE∥

．
因为P为AC的中点，所以

．
在三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，AP∥A₁C₁，所以DE＝AP，DE∥AP，
所以四边形DEAP是平行四边形，所以DP∥AE．
因为AE⊂平面AEF，DP⊄平面AEF，所以DP∥平面AEF．
（2）记BC的中点为O，以O为坐标原点，

的方向分别为
x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

不妨设正三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC所有的棱长均为4，
则点

．

．
设平面AEF的法向量为

，
则

，取

，
设平面BDE的法向量为

，
则

，取

，
∴cos＜

，

＞＝

＝

＝

，
∴平面AEF与平面BDE的夹角的正弦值为：

＝

＝

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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2024-10-24

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