数学家笛卡尔研究了很多曲线传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象心形线明白了笛卡尔的心意已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程如图该曲线图象过点则曲线经过当在曲线上时当在曲线上时

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166248. （2024•师大附中•高二上二月）数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：r＝a（1﹣sinθ），克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意．已知利用关系式

和

可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程．如图，该曲线图象过点（0，﹣2），则（　　）

A.．a＝1	B.曲线经过（﹣1，0）
C.．当（x₀，y₀）在曲线上时，x₀＝1﹣sinθcosθ	D.当（x₀，y₀）在曲线上时，

共享时间:2024-12-29 难度:1

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[考点]

参数方程化成普通方程，

[答案]

ABD

[解析]

解：由r＝a（1﹣sinθ），得r²＝a（r﹣rsinθ），
把

代入，得r²＝a（r﹣y）（*），
对于A，∵曲线图象过点（0，﹣2），∴此时r＝

，
代入（*）得，4＝a（2﹣（﹣2）），即a＝1，故A正确；
对于B，∵a＝1，∴（*）化为r²＝r﹣y，
∴直角坐标系下的曲线方程为

，
代入点（﹣1，0）满足，故B正确；
对于C，x＝rcosθ＝（1﹣sinθ）cosθ，当（x₀，y₀）在曲线上时，有x₀＝cosθ﹣sinθcosθ，故C错误；
对于D，由y₀＝rsinθ＝（1﹣sinθ）sinθ＝

，sinθ∈[﹣1，1]，
则﹣2

，故D正确．
故选：ABD．

[点评]

本题考查了"参数方程化成普通方程，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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C.x²+y²＝1（0≤y≤1）

B.x²+y²＝1（0≤x≤1）

D.x²+y²＝1（0≤x≤1，0≤y≤1）

共享时间:2022-05-11 难度:1 相似度:2

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2024-12-29

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