已知函数下面关于的方程的实数根的个数说法正确的是当时原方程有个根当时原方程有个根当时原方程有个根不论取何值原方程都不可能有个根

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166229. （2024•师大附中•高一上二月）已知函数

，下面关于x的方程f（f（x））+a＝0的实数根的个数，说法正确的是（　　）

A.当时，原方程有6个根	B.当时，原方程有6个根
C.当a＝0时，原方程有4个根	D.不论a取何值，原方程都不可能有7个根

共享时间:2024-12-16 难度:1

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[考点]

求解方程根的存在性和分布，

[答案]

ABC

[解析]

解：令f（x）＝m，则方程f（x）＝m实根的个数等价于函数f（x）的图像与直线y＝m交点的个数，由于

，
作出函数f（x）的图像，如下图所示：

当m＜0时，函数f（x）的图像与直线y＝m交3点的只有1个，故方程f（x）＝m实根的个数为1个；
当m＝0或m＞1时，函数f（x）的图像与直线y＝m交点的有2个，故方程f（x）＝m实根的个数为2个；
当0＜m≤1时，函数f（x）的图像与直线y＝m交点的有3个，故方程f（x）＝m实根的个数为3个．
方程f（f（x））+a＝0，可化为f（m）＝﹣a．
AB选项，当a∈（﹣1，0）时，﹣a∈（0，1），方程f（m）＝﹣a有3个不等实数根，分别记为m₁，m₂，m₃，且﹣1＜m₁＜0，0＜m₂＜1，m₃＞1，
从而方程f（x）＝m₁有1个实数根，方程f（x）＝m₂有3个不等实数根，方程f（x）＝m₃有2个不等实数根，
∴方程f（f（x））+a＝0有6个不等实根，故AB正确；
当a＝0时．﹣a＝0，方程f（m）＝0有2个实数根分别为﹣1，1，
从而方程f（x）＝﹣1有1个实数根，方程f（x）＝1有3个不等实数根，
∴方程f（f（x））+a＝0有4个不等实根，故C正确；
当a＝﹣1时，﹣a＝1，方程f（m）＝1有3个不等实数根，分别为0，

和e，
从而方程f（x）＝0有2个不等实数根，方程

有3个不等实数根，方程f（x）＝e有2个不等实数根，
则方程f（f（x））+a＝0有7个不等实根，故D错误．
故选：ABC．

[点评]

本题考查了"求解方程根的存在性和分布，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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dygzsxyn

2024-12-16

高中数学 | 高一上 | 选择题

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