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138404. (2024•铁一中学•高一上一月) 已知集合A={x|(x-3)(x2-ax+1)=0,a∈R},若集合A只有两个元素,则实数a可取的一个值为        ;若集合B={1,4},集合C=A∪B,当集合C有8个子集时,实数a的取值范围为        
共享时间:2024-10-26 难度:1
[考点]
子集的个数,
[答案]
2(答案不唯一,另一个值为﹣2);{a|﹣2<a≤2}.
[解析]
解:由(x﹣3)(x2ax+1)=0,得x=3或x2ax+1=0,
由集合A只有两个元素,得方程x2ax+1=0有两个相等的实根,且该实根不为3,
因此Δ=a2﹣4=0,解得a=±2,
此时方程的根为1或﹣1,符合题意,
所以a=±2,
a=2;
由集合C有8个子集,得集合C中有3个元素,而B={1,4},3∈A
A={3}或A={1,3}或A={3,4}或A={1,3,4},
①当A={3}时,方程x2ax+1=0无实根,Δ=a2﹣4<0,
解得﹣2<a<2,
②当A={1,3}时,方程x2ax+1=0有两个相等的实根1,
a=2,
③当A={3,4}时,方程x2ax+1=0有两个相等的实根4,
而方程x2ax+1=0有实根时,两根之积为1,因此无解,
③当A={1,3,4}时,方程x2ax+1=0的两根分别为3,4,
而方程x2ax+1=0有实根时,两根之积为1,因此无解,
综上所述,实数a的取值范围为{a|﹣2<a≤2}.
故答案为:2(答案不唯一,另一个值为﹣2);{a|﹣2<a≤2}.

[点评]
本题考查了"子集的个数,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
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2024-10-26

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2020*西工大*期末
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