如图是的外接圆是的直径是的中点交的延长线于点交于点点是上的一点且与相切于点求证若求的长

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首页 > 试题列表 > 单题解析

26609. （2024•交大附中•五模） $德优题库$ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，D是OA的中点．DE⊥AC交CB的延长线于点E，交AB于点F，点G是DE上的一点，且BG与⊙O相切于点B．
（1）求证：∠GBF=∠C；
（2）若tan∠CED＝

3

4

，AD=4，求FG的长．

共享时间:2024-06-24 难度:3

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[考点]

解直角三角形，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，

[答案]

（1）证明见解答；
（2）FG的长为

132

．

[解析]

$菁优网$ （1）证明：连接OB，则OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵BG与⊙O相切于点B，
∴BG⊥OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠OBG=∠ABC=90°，
∴∠GBF=∠OBC=90°-∠OBF，
∴∠GBF=∠C．
（2）解：∵D是OA的中点，AD=4，
∴OD=AD=4，
∴OC=OA=2AD=8，
∴CD=OD+OC=4+8=12，
∵DE⊥AC，
∴∠ADF=∠CDE=90°，
∴

CD

ED

=tan∠CED=

3

4

，
∴ED=

4

3

CD=

4

3

×12=16，
∵∠A=∠CED=90°-∠C，
∴

FD

AD

=tanA=tan∠CED=

3

4

，
∴FD=

3

4

AD=

3

4

×4=3，
∵EF=ED-FD=16-3=13，
∵∠FBE=∠CDE=90°，
∴∠GFB=∠C=90°-∠E，
由（1）得∠GBF=∠C，
∴∠GFB=∠GBF，
∴FG=BG，
∵∠E+∠GFB=90°，∠GBE+∠GBF=90°，
∴∠E=∠GBE，
∴EG=BG，
∴FG=EG=

1

2

EF=

1

2

×13=

13

2

，
∴FG的长为

13

2

．

[点评]

此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等腰三角形的性质、等角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．

原创声明：

本题解析属于发布者原创，非正常渠道不可私用，违者必究！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

211643. （2025•唐南中学•一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinB＝

，求FD的长．

共享时间:2025-03-09 难度:4 相似度:1.75

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211434. （2025•临潼区•一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，已知⊙O的半径为5，D为CB延长线上一点，连接AD，则有∠DAB＝∠DCA．
（1）求证：DA为⊙O的切线；
（2）若AC＝9，

，求

的值．

共享时间:2025-03-01 难度:4 相似度:1.75

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211044. （2025•高新一中•六模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点D，CE是⊙O的直径．
（1）求证：CE∥AD；
（2）若

，

，求AD的长．

共享时间:2025-05-25 难度:4 相似度:1.75

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23920. （2022•高新一中•二模）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tan∠BAC=

，求DE的长．
$德优题库$

共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.75

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210654. （2025•师大附中•八模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝90°，过点O作OE∥BC，过点E作EF∥AC，与过点B的⊙O的切线交于点D，与CB延长线交于点F，且BD＝ED．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若ED＝5，cosA＝

，求⊙O的半径．

共享时间:2025-06-14 难度:4 相似度:1.75

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189966. （2025•新城区•九上期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为AC的中点，连接BD、DO，过点B作⊙O的切线BE交DO的延长线于点E．
（1）求证：△OAD∽△OEB；
（2）若

，OE＝5，求BD的长．

共享时间:2025-02-11 难度:4 相似度:1.75

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181132. （2024•爱知中学•月考） $德优题库$ 如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠BCD=∠CAO，过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2BD=4，求sin∠DAC的值．

共享时间:2023-12-01 难度:4 相似度:1.75

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212058. （2025•铁一中学•八模）如图，△ABC的边AC上有一点D，⊙O过点A，B，D，且BC与⊙O相切于点B．
（1）求证：∠CBD＝∠A；
（2）若2AC＝3BC，

，求AD的长．

共享时间:2025-06-14 难度:2 相似度:1.67

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211304. （2025•西工大浐灞中学•四模） $德优题库$ 如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点D在⊙O上，且点B是

ˆ

CD

的中点，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若∠CAD=60°，AD=4，求BF的长．

共享时间:2025-04-17 难度:2 相似度:1.67

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211825. （2025•西工大附中•三模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，⊙O经过A，B两点，与斜边AC交于点E，连接BO并延长交AC于点H，交⊙O于点D，连接AD，过点E的切线EF与BC交于点F，且EF∥BD．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若AH＝3

，tan∠ABD＝

，求OH的长．

共享时间:2025-04-02 难度:2 相似度:1.67

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212136. （2025•高新陆港•三模） $德优题库$ 如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在

ˆ

BC

上，过E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若∠BEF=∠CAE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BF=8，EF=16，求AC的长．

共享时间:2025-04-04 难度:2 相似度:1.67

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175954. （2024•交大附中•九上二月）如图，AB是⊙O的直径，经过⊙O上一点D，作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，AE⊥EF，交BD的延长线于点C．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若⊙O的半径为3，

，求BF的长．

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1.67

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181106. （2024•爱知中学•九下一月）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，过点B作⊙O切线交AD延长线于点C，CE平分∠ACB，CE，BD交于F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若⊙O半径为2，

，求DF的长度．

共享时间:2024-04-24 难度:2 相似度:1.67

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212083. （2025•碑林区•一模）如图，在⊙O中，AB是直径，C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝15，

，求EF的长．

共享时间:2025-03-06 难度:2 相似度:1.67

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196308. （2024•高新一中•九上期末）如图，AB是⊙O的直径，EF与⊙O相切于点E，点C在⊙O上，连接CA，CB，且∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上．
（1）求证：∠AFE＝∠ABC；
（2）若BF＝1，

，求BC的长．

共享时间:2024-02-28 难度:2 相似度:1.67

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