如图是的直径弦与交于点过点的切线交的延长线于点点是的中点求证若的半径为求

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26032. （2024•交大附中•一模）如图，AE是⊙O的直径，弦CB与AE交于点F，过点A的切线交CB的延长线于点D，点B是DF的中点．
（1）求证：∠AFB=∠C；
（2）若⊙O的半径为4，AB=5，求AF．
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共享时间:2024-04-05 难度:4

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[考点]

等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，切线定理，

[校正]

[答案]

（1）证明见解答过程；
（2）AF=．

[解析]

（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴EA⊥AD，即∠EAD=90°，
∵点B是DF的中点，
∴AB＝

DF＝BF，
∴∠BAE=∠AFB，
∵

，
∴∠C=∠BAE，
∴∠AFB=∠C；
（2）解：连接AC，则∠ECA=∠ECF+∠ACD=90°，
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由（1）可知，∠EAD=90°，则∠AFB+∠D=90°，
∵∠AFB=∠ECF，∠AFB=∠CFE，
∴∠ACD=∠D，∠CFE=∠ECF
∴AC=AD，EC=EF，
∵AB=5，AB＝

DF＝BF，
∴DF=10，
∴AD=AC=

，
∵⊙O半径的长为4，
∴AE=8，CE=EF=8-AF，
由勾股定理可知：AC²+CE²=AE²，即：（

）²+（（8-AF）²=8²，
解得：AF=

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质,直角三角形的性质,勾股定理,圆周角定理,切线定理"，属于"典型题"，熟悉考点是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

26012. （2024•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）若AF=6，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.6

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278568. （2025•铁一中学•九模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC．以AB为直径的圆O分别交AC，BC于点D，E．过点B作圆O的切线交OE的延长线于点F．
（1）求证：OE∥AC；
（2）如果AB=10，AD=6，求EF的长．

共享时间:2025-06-20 难度:2 相似度:1.4

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278559. （2025•铁一中学•九模）为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生．

共享时间:2025-06-20 难度:2 相似度:1.4

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780. （2019•陕西省•暑假）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1.4

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1143. （2020•陕西省•副题）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R=13，BC=24，求AF的长．
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共享时间:2020-07-31 难度:4 相似度:1.35

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．