问题探究如图在中请画出一个使得点分别在边上如图在矩形中为矩形内一点且满足周长的最小值问题解决为了进一步提升游客的体验感某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台如图所示区域为草地线段为花海边沿点为游客服务中心线段为步道点和点为步道口点为观景台按照设计要求点分别在边

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256672. （2025•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P为矩形ABCD内一点，且满足S_△BPC=9，△BPC周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP：AQ=2：3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB=120m,AC=BC=180m,请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计）
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共享时间:2025-07-05 难度:4

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[考点]

四边形综合题，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，将军饮马问题，

[校正]

[答案]

（1）见详解；

（2）

；

（3）

．

[解析]

解：（1）依题意，先作∠ADE＝∠B，DE交AC于点E，得出DE∥BF，
再以点B为圆心，以DE的长为半径画弧，交线段BC于一点F，
连接EF，则DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF是平行四边形，
即▱BDEF如图所示：

（2）如图，过P点作PH⊥BC于点H，

∵S_△BPC＝9，BC＝6，
∴

，
解得PH＝3，
过点P作MN∥BC且分别与AB，CD交于M，N，即P在线段MN上运动的，
则C_△BPC＝BP+CP+BC＝BP+CP+6，
当BP+CP有最小值时，则△BPC的周长有最小值，
作B点关于MN的对称点B'，
∴BM＝B'M＝3，B'P＝BP，
∴BP+CP＝B'P+CP≥B'C，
当B'，P，C三点共线时，BP+CP有最小值，即B'C的长，即△BPC的周长有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△BB'C中，B'B＝6，BC＝6，
∴

，
此时△BPC的周长＝

；
（3）如图，取AB的中点M，取AC的中点N，连接MN，

∴MN是△ABC的中位线，
过点P作PD∥AC，
∴∠BAC＝∠BPD，
又∵∠ABD＝∠PBD，
∴△PBD∽△ABC，
∴

，即

，
∵

，
∴AQ＝PD，
∵PD∥AC，
∴四边形APDQ是平行四边形，
连接AD，
∵O是PQ的中点，且四边形APDQ是平行四边形，
∴AO＝OD，
∴O是AD的中点，
过A点作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E，
∴∠AHD＝∠OED＝90°，
∵∠ADH＝∠ODE，
∴△ADH∽△ODE，
∴

，
∵AB＝120m，AC＝BC＝180m，
∴AH为定值，
∴OE为定值，
则点O在△ABC的中位线MN上运动，作△BOC的外接圆⊙T，
当且仅当⊙T与MN相切时，∠BOC的值最大，
∠BO'C＝∠BFC＝∠BOC+∠OBF，
故∠BO'C＝∠BFC＞∠BOC，
如图，连接CM，作MK⊥BC于点K，O'L⊥BC于点L，连接O'T，LT，

∵⊙T与MN相切于点O'，
∴∠MO'T＝90°，
∵O'L⊥BC于点L，
∴∠BLO'＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠MO'L＝90°．
故O'，L，T三点共线，
∴∠BLT＝180°﹣∠BLO'＝90°，则BC⊥LT，
∴

，
∵BC＝AC＝180m，M是AB的中点，
∴

，CM⊥AB，
∴

，
即

，
∴BK＝20（m），
∴

，
∵点M是AB的中点M，O是AD的中点，
∴MO是三角形ABD的中位线，
∴BD＝2MO'＝140m，

，
∴

．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

244229. （2023•师大附中•八下期末）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C₁处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13，CN=5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF-PD=3，请直接写出△ABC的面积．
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共享时间:2023-07-10 难度:1 相似度:1.25

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275870. （2024•二十六中•三模）【问题提出】（1）如图1，在直线AB上找一点P，使得点P到C，D的距离之和最小；
【问题探究】（2）如图2，已知点D是△ABC边BC上一点，AB=4，BC=8，AC=CD=6．求AD的长；
【问题解决】（3）如图3，在一块边长为40米的正方形ABCD的花园中，点P是内部一点，为了有好的欣赏效果，设计者在PA，PD，PC之间修三条小路（宽度不计），将花园分为三部分种植不同的花卉．根据调查可知修路PC每米200元，修路PD每米100元，修路PA每米100元．测得PA长为20米．设计者想知道修三条小路的费用是否有最小值，若有，求出最小值，若没有，请说明理由．
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共享时间:2024-04-04 难度:1 相似度:1.25

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284325. （2023•铁一中学•二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．
（1）如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为；
（2）如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
（3）如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
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共享时间:2023-03-16 难度:1 相似度:1.25

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284789. （2022•高新一中•八模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝

cm．动点P在边AB上从点A向点B运动，速度为1cm/s；过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm²）．
（1）当x＝　　 s时，点Q与点C重合；
（2）①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②在点P的运动过程中，是否存在y的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-06-11 难度:1 相似度:1.25

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285895. （2022•交大附中•一模）（1）如图①，点A、点B在直线l同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一定点，OP＝5，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形OABC中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC＝2，OC＝

，点H为OA边上的一点且OH＝4，点P，F分别在边AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-03-13 难度:1 相似度:1.25

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287303. （2020•师大附中•九模）问题提出
（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB=60°（只作出满足条件一个图形即可）；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=10，求四边形ABCD的面积．
问题解决
（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
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共享时间:2020-06-15 难度:1 相似度:1.25

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288081. （2018•爱知中学•二模）知识运用：
（1）如图1，已知正方形ABCD，请用直尺和圆规作以BC为边的等边三角形BCP，使得点P在正方形ABCD的内部（保留作图痕迹）；
知识探究：
（2）如图2，小明画出了图1的正方形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在正方形ABCD中把△PBC经过图形变化（旋转后放大），可以得到图2中的更大的等边三角形．请你通过合理的图形变化，在图3的正方形纸片中画出面积最大的等边三角形BEF（点E、F不能在正方形外），当图3正方形ABCD的边长为1时，求等边三角形BEF的最大边长．
知识应用：
（3）某单位现有一块建筑用地，其形状为Rt△ABC（如图3），其中∠A=90°，AC=3，AB=4．因工作需要，单位要求承建方将此三角形ABC用地扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地），要求原来位于A、B、C三个顶点的三棵树在正方形的内部或边上．为了节省费用，建筑方想让这个正方形尽可能的小，请你在图中画出扩建后满足条件的面积最小的正方形，并求出该正方形的最小面积．
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共享时间:2018-03-21 难度:1 相似度:1.25

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291453. （2020•铁一中学•四模）如果一个三角形的三个顶点都落在一个矩形的边上（含顶点）．则称这个三角形为矩形的内接三角形．
问题发现（1）如图1，等边△AEF内接于正方形ABCD，若AE=2，则正方形ABCD的面积为；
探索问题（2）如图2．若等边△AEF内接于正方形ABCD，试证明△ABE和△ADF的面积之和等于△CEF的面积；
拓展应用（3）如图3．若等边△AEF内接于矩形ABCD（AB＜AD）．请问（2）中的结论是否成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请说明理由．
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共享时间:2020-04-28 难度:1 相似度:1.25

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212398. （2025•交大附中•一模）数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下：
【任务一】在如图的矩形板材ABCD中，AB=40cm,AD=80cm,取AD边上一点E，ED=30cm,请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F，连接EF，使得线段EF平分矩形ABCD的面积，则线段EF的长为 cm.
【任务二】在完成任务一后，取线段EF的中点O，点M和点N是线段EF上两点，且OM=ON=10cm（M在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段BC上找一点P，连接PM和PN，使得∠MPN角度最大，请帮兴趣小组计算，当∠MPN角度最大时，sin∠MPN的值．
【任务三】在任务二的结论下，线段EF的左侧是否存在点Q，连接QM和QN，使得∠MQN=∠MPN，且满足四边形QNPM的面积最大，若存在，求出四边形QNPM的面积最大值；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2025-03-13 难度:1 相似度:1.25

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.25

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196609. （2024•西工大附中•七下期末） $德优题库$ 甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了天，甲组挖掘的总长度是 m；
（2）求乙组停工后y关于x的关系式．

共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:1.25

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244330. （2023•曲江一中•九上期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE，若AB＝2，BE＝

，请直接写出△APE的面积．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.25

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279591. （2023•师大附中•四模）问题情境
如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠BCD=90°，∠ADB=30°，∠BDC=45°，AB=2，点E为AD的中点，连接CE．以点D为中心，顺时针旋转△DEC，得到△DGF，点E，C的对应点分别为点G，F．
问题探究
（1）如图①，则CE的长为；
（2）如图②，在△DFG旋转过程中，当B，F，G三点共线时，求△ABF的面积；
（3）如图③，在△DFG旋转过程中，连接AF，AG，直接写出△AFG面积的最大值．
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共享时间:2023-04-27 难度:1 相似度:1.25

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274880. （2024•西工大附中•九模）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在边BC上．连接AP，过点P作PQ⊥AP．求AQ的最小值；
（2）如图②，矩形ABCD是某公园示意图，其中AB＝600米，BC＝800米．为了进一步改善人居环境，现需要对公园进行改扩建．根据现场勘察情况，边DC的外边有一片空地可以扩建．设计部门打算把扩建部分设计为直角三角形，即Rt△CDE，且∠CED＝90°，同时要在扩建后的五边形公园ABCED中的边BC上开一个门F，使得点F到点A、点E的距离相等且∠AFE＝90°．试问这样的设计能否实现？若能，求出扩建部分△CDE的面积及点F到点B的距离；若不能，请说明理由．

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.25

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.25

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mxz@dyw.com

2025-07-05

初中数学 | | 解答题

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2025年陕西省中考数学试卷

更新:2025-07-05 12:28浏览量:346

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