在菱形中是直线上一动点以为边向右侧作等边按逆时针排列点的位置随点的位置变化而变化如图当点在线段上且点在菱形内部或边上时连接则与的数量关系是与的位置关系是如图当点在线段上且点在菱形外部时中的结论是否还成立若成立请予以证明若不成立请说明理由当点在直线上时其他条件不变连接若

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244330. （2023•曲江一中•九上期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE，若AB＝2，BE＝

，请直接写出△APE的面积．

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[考点]

四边形综合题，

[答案]

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[解析]

解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于H，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP+∠PAC＝∠CAE+∠PAC，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
同理可证△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝2∠ACH＝60°，
∴CH⊥AD，即CE⊥AD
又∵AD∥BC，
∴CE⊥BC．
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，连接AC，

∴△ABC，△ACD为等边三角形，
在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，
又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
设CE与AD交于点H，
同理可得∠ACD＝2∠ACH＝60°，
∴CE⊥AD，
又∵AD∥BC，
∴CE⊥BC．
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴

，
∴

，
由（2）知CE⊥BC，
∵

，BC＝AB＝2，
∴

，
由（2）知

，
∴

，
∵△APE是等边三角形，EF⊥AP，
∴

，
∴

；
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝

＝7，

∴S_△AEP＝

AP²＝

；
综上所述，△AEP的面积为

或

．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

244454. （2023•高新一中•八下期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形ABCD中，E是射线BC上一动点（点E，B不重合），连接AE，作AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．
【思考尝试】（1）如图1，当E是线段BC的中点时，观察并猜想AE与EP的数量关系为　AE＝EP　；
【实践探究】（2）小明同学受问题（1）启发，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，若E是射线BC上一动点（点E，B不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小颖同学深入研究小明同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，当E在线段BC上运动时（点E，B不重合），连接DP、AP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝6时，请你求出△ADP周长的最小值．

共享时间:2023-07-30 难度:1 相似度:2

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197821. （2024•铁一中学•九上期中）问题发现：
（1）如图1，点O是线段AB的中点，直线l经过点O，分别过A、B作直线l的垂线段AC、BD，垂足分别是点C、D．求证：AC=BD；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=50°，∠BCD=40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点，若AB=8，CD=12，则EF的长是；
问题解决：
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系xOy中，其中A（8，0）、B（8，6），OA∥BC，点D、E分别在AB、BC上，BC=6，BE=BD=2，若点M在OA上、点N在四边形OABC的另一条边上，满足点D、E到直线MN的距离相等，且MN平分四边形OABC的面积．问：能否找到满足上述条件的直线MN？如果能，求出N的坐标；如果不能，请说明理由． $德优题库$

共享时间:2024-11-16 难度:1 相似度:2

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196681. （2024•西工大附中•八下期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为（6，0），（-3，4）．将线段CO先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段MN．
（1）点M的坐标为，点N的坐标为；
（2）点D是直线MN上的动点，在x轴上是否存在E，使得以O，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-07-18 难度:1 相似度:2

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196682. （2024•西工大附中•八下期末）【问题提出】
（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，其中E，F分别是BC，CD边上的中点，则△AEF的周长为　　；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，AB∥CD，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF＝60°，则△CEF周长的最小值为　　；
【问题解决】
（3）如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地ABCD，计划在边BC，CD上分别取点E，F，利用小路AE，AF将这块四边形空地ABCD分开，在四边形空地AECF内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取AC的中点M，沿着ME，EC，CF，MF修建观赏长廊．经测量∠B＝45°，∠BCD＝120°，AB＝6km，

，∠EAF＝60°，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短．请你帮助规划部门确定ME+EC+CF+MF是否有最小值．若存在，请求出ME+EC+CF+MF的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-07-18 难度:1 相似度:2

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196803. （2024•铁一中学•九上期末）探究与证明
（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；
类比迁移
（2）如图2，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=3，AF=4，连接EF，把三角形AEF沿EF翻叠，若点A的对应点G恰好落在边BC上，则BE的长为；
拓展应用
（3）如图3，有一个矩形广场ABCD，AB=30，AD=50，广场上要修两条小路EF、EG，要求点E、F、G分别在边AB、AD、BC上，且BE=20，EF=EG，∠FEG=60°，广场上五边形EFDCG内部将进行绿化，请求出绿化面积．
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共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:2

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196827. （2024•铁一中学•八下期末）（1）△ABC与△ADE如图1所示位置摆放，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，△ADE绕点A按逆时针方向旋转至图2的位置，连接BD，CE，求证：BD=CE．
（2）如图3，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AC=6，则BC+CD= ．
（3）如图4，△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．连接DE，点F与点D关于直线AC对称，连接DF、EF．猜想线段AE、BE、DF之间的数量关系，并证明． $德优题库$

共享时间:2024-07-08 难度:1 相似度:2

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197013. （2024•交大附中•八上期末）【问题引出】
（1）如图1．在△ABC中，AB=BC=5，AC=8，若D为AC边上一点，BD平分△ABC的面积，则BD的长为．
【问题延伸】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D在BC边上，且BD=1，若P为AC边上一点，DP平分△ABC 的面积，求AP的长．
【问题拓展】
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴上，已知∠AOC=60°，∠OAB=150°．∠ABC=120°．OA=2，OC=10．若P为OC边上一点．且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标．
$德优题库$

共享时间:2024-03-01 难度:1 相似度:2

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197132. （2023•铁一中学•八上期末）问题探究：
$德优题库$
（1）如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边BC上的一动点，以AD为边在右侧作△ADE，且∠DAE=90°，AD=AE，连CE．若CD=2BD=4，求DE的长；
（2）如图（2），边长为4的等边△ABC，点D为边BC上的一动点，以AD为边在右侧作等边△ADE，连接CE，则
①∠DCE=       ；
②DC+CE=       ；
③△DCE的周长最小值是        ．
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，CD=1，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，点M，N分别为边AD，DC上的动点，且DM+DN=2，是否存在点M，N，使得四边形BMDN面积最大且△DMN的周长最小？若存在，求出四边形BMDN面积最大值和△DMN的周长最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-02-13 难度:1 相似度:2

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197230. （2025•西安一中•八下期中）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，AD⊥BC．若AB=5，BD=3，CD=6，则AC= ．
问题探究
（2）如图2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD．
求证：BC²+AD²=AB²+CD²．
问题解决
（3）如图3，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B=90°，AB=600米，AD，DE是两条小道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E．该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF，且满足EF=EC，∠AFE=90°．请根据上述条件，求骑行小道AF的长．
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共享时间:2025-05-16 难度:1 相似度:2

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197475. （2024•爱知中学•九上期中）问题探究
（1）请在图1中过点A画一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）如图2，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，点E在AD的延长线上，且DE=2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则请求出CM的长度；
问题解决
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形ABCD，如图3所示．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，实际长度AD=5公里，AB=9公里，BC=13公里，CD=15公里，点P在CD上且PD=5公里．根据用地需求，需在BC上确定点E，将五边形ABEPD作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形ABCD总面积的一半，并在AB上确定点F，在△PEF中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区．为方便游客游览，要求修建PE、PF、EF三条观光道路的总长度最小．请问这样的△PEF是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及△PEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:2

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197940. （2024•滨河中学•九上期中）提出问题：（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，

，CD＝4

，DF⊥BC交AB于点F，DE⊥AC于点E，则四边形AFDE的面积为　6　．
探究问题：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，且

，AD＝2AB，∠BCD＝90°，BC＝6

，求四边形ABCD的面积．
解决问题：（3）如图3，四边形ABCD是一个大型户外儿童游乐场，游乐场设计要求∠B＝∠D，∠A＝60°，AB＝80米，CD＝2BC，为了让游乐场足够的宽敞，要求游乐场的面积尽可能的大，请问能否设计出要求的游乐场？若能请求出游乐场的最大面积，若不能请说明理由．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:2

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196609. （2024•西工大附中•七下期末） $德优题库$ 甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了天，甲组挖掘的总长度是 m；
（2）求乙组停工后y关于x的关系式．

共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:2

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197943. （2024•滨河中学•九上期中）提出问题：（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，

，CD＝4

，DF⊥BC交AB于点F，DE⊥AC于点E，则四边形AFDE的面积为　　．
探究问题：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，且

，AD＝2AB，∠BCD＝90°，BC＝6

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:2

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197968. （2024•西安三中•九上期中）数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．问题情境：在▱ABCD中，点P是边AD上一点，将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
（1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC 交于点F，连接DF，则四边形AEFD是菱形．请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；
问题解决：
（3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的长．
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共享时间:2024-11-11 难度:1 相似度:2

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198239. （2023•高新一中•九上期中）问题提出：
（1）数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=60cm,高AD=40cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
初步探究：
（2）李华同学通过探究发现，如果要把△ABC按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，△ABC的边BC与高AD需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是： .（直接写出结论，不用说明理由）
深入探究：
（3）若△ABC可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且∠B=30°，试探究△ABC的边BC与边AB之间满足的数量关系，并说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-11-10 难度:1 相似度:2

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2023-02-19

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2022-2023学年陕西省西安市雁塔区曲江一中九年级（上）期末数学试卷

更新:2023-02-19 04:22浏览量:14

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