如图四边形中为中点为四边形内一点分别为上任意一点的最小值为

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230628. （2025•爱知中学•九模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠C=45°，AD=3，BC=7，O为AB中点，E为四边形内一点，OE=2，P、F分别为DC、BC上任意一点，PE+PF的最小值为．
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[考点]

直角三角形的性质，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，将军饮马问题，

[答案]

．

[解析]

解：过点D作DG⊥BC交BC于G，

∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝∠DGB＝90°，
∴四边形DABG为矩形，BG＝AD＝3，GC＝7﹣3＝4，
∵∠C＝45°，
∴DG＝GC＝4，
∴AB＝4；
作E点关于直线CD的对称点E′，O点关于直线CD的对称点O′交CD延长线于H，交AD于M，
连接OD、O′D、DE、DE′，
则根据对称性有DO＝DO′，ED＝E′D，OH＝O′H，∠ODE＝∠O′DE′，

∴△ODE≌△O′DE′（SAS），
∴O′E′＝OE＝2，
即E′点在以O′为圆心，2为半径的圆上运动；
∵P、F分别为DC、BC上任意一点，
由对称性有PE＝PE′，
∴PE+PF＝PE′+PF，
由图可知当O′、E′、P、F四点共线且O′F⊥BC时，E′F最短，
即此时PE+PF有最小值，最小值为E′F的长；
∵∠C＝45°，AD∥BC，
∴∠HDM＝∠C＝45°，
∴△HDM为等腰直角三角形，

，
同理可得△AOM也是等腰直角三角形，
∵O为AB中点，
∴

，
∴AM＝AO＝2，

，MD＝3﹣2＝1，
∴

，
∴OH＝

，
∴

，
∵CD垂直平分OO′，
∴PO＝PO′，∠O′PH＝∠OPH，
∵∠C＝45°，∠PFC＝90°，
∴∠CPF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠O′PH＝∠CPF＝45°，
∴∠OPH＝45°，即∠O′PO＝90°，
∴△OPO′为等腰直角三角形；
∵∠B＝∠OPO′＝∠PFB＝90°，
∴四边形OBFP为矩形，
∴PF＝OB；
∴

，PF＝OB＝2，
∴O′F＝O′P+PF＝5+2＝7，
此时E′F＝O′F﹣O′E′＝7﹣2＝5，
即PE+PF的最小值为5．
故答案为：5．

[点评]

本题考查了"直角三角形的性质，等腰直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，将军饮马问题"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23416. （2020•西工大附中•八上二月）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=

+2，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．
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461. （2017•陕西省•副题）如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为　　

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1

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21705. （2021•交大附中•七模）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC=6，PQ=4，则PC+AQ的最小值为．
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23863. （2020•益新中学•九上期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，作EF⊥AE交正方形的外角平分线于点F，连接AF，交CD于点H，连接EH．若AB=4，则EH的长为．
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21101. （2021•交大附中•九模）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=10，点E在CD上，CE=2，点F、P分别是AC、AB上的动点，则PE+PF的最小值为．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:0.83

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23366. （2021•交大附中•九上期中）如图，正方形ABCD的边长为12，点P是对角线BD上的一个动点，点E在AB上且AE=7，则△PAE周长的最小值为．
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23004. （2021•高新一中•八上期中） $德优题库$ 如图，点C是直线y=-x+4上的一点，点B是y轴上的动点，当OC+BC最小时，点C的坐标为．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:0.73

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3109. （2019•滨河中学•模拟）如图，在△ABC中，AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是　　cm．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:0.73

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4678. （2018•交大附中•模拟）如图，边长为6的菱形ABCD中，AC是其对角线，∠B＝60°，点P在CD上，CP＝2，点M在AD上，点N在AC上，则△PMN的周长的最小值为　　．

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23392. （2020•铁一中学•八上二月）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6与坐标轴交于点A，B，点C为线段OA上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥x轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得∠DCF=90°，连接OF，则OF+CF的最小值为．
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23176. （2021•西工大附中•八上期中）如图，已知点C（-2，0），一次函数y=x+6的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，E，F分别是线段OB，AB上的动点，当CE+EF的值最小时，点F的坐标为．
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22433. （2021•师大附中•九上一月） $德优题库$ 如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G，F，连接EF、DF，若AB=3，BC=4，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．