问题提出如图在等腰中是边上一点以为腰作等腰连接则与的数量关系是位置关系是问题探究如图是半圆的直径是半圆上两点且若求的长问题解决如图是某公园的一个面积为的圆形广场示意图点为圆心公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域连接其中等边为球类运动区域为散步区域设

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21716. （2021•交大附中•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
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问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．

共享时间:2021-07-25 难度:5

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[考点]

等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四边形与面积问题，圆的综合题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，∠A＝∠CBA＝45°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝∠BCE，
∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：相等，垂直；
（2）过点C作CE⊥CD交AD于点E，如图：

∵AB是半圆O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，△DCE是等腰直角三角形，
∵∠CAE＝∠CBD，AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣3＝6，
在等腰Rt△DCE中，CD＝

DE＝3

；
（3）①在DA上截取DE＝CD，连接CE，过点C作CF⊥AD于点F，过O作OH⊥AB于H，如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°＝∠ADC，CE＝CD，
∵DE＝CD，
∴△CDE是等边三角形，
∵⊙O的面积为36π，
∴⊙O的半径为6，即OA＝6，
∵△ABC是等边三角形，OH⊥AB
∴AB＝2AH，∠AOH＝60°，
在Rt△AOH中，AH＝OA•sin∠AOH＝3

，
∴AB＝6

＝AC＝BC，
∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CE＝CD，AC＝BC，
∴∠ACE＝60°﹣∠ECB＝∠BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴S_△BCD＝S_△ACE，
设CD＝2a，则EF＝DF＝a，CF＝

a，
而AD＝x，
Rt△ACF中，AC²＝CF²+AF²，
∴（6

）²＝（

a）²+（x﹣a）²，
化简变形得：ax﹣2a²＝

x²﹣54，
∴S＝S_△ACE＝

•AE•CF
＝

（x﹣2a）•

a
＝

（ax﹣2a²）
＝

x²﹣27

；
②D为BC的中点时，如图：

∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD＝

∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝DE＝

AD＝OD，
∴点E与点O重合，
∴S＝S_△ACE＝S_△AOC＝

S_△ABC，
∴S_{四边形ABDC}＝S+S_△ABC＝

S_△ABC＝

AB²＝36

．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质,等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,四边形与面积问题,圆的综合题"，属于"压轴题"，熟悉考点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.33

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.17

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.17

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.17

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.17

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:1.11

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1.1

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1001. （2018•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、

是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，

所对的圆心角为60°，新区管委会想在

路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在

、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

共享时间:2018-07-02 难度:5 相似度:1.1

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.83

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1089. （2020•陕西省•真题）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．