如图矩形中为中点过点的直线分别与交于点连接交于点连接若则下列结论垂直平分其中正确的结论是填正确的序号

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173659. （2024•莲湖区•九上四月）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO，若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②DE＝EF；③S_△AOE：S_△BCM＝3：4；④S_△DEF：S_△BOM＝8：3，其中正确的结论是．（填正确的序号）

共享时间:2024-01-14 难度:4

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[考点]

等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，

[答案]

①②④．

[解析]

解：①∵四边形ABCD是矩形，O是AC中点，
∴OB＝OC＝OA，
∵∠COB＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∴B在OC的垂直平分线上，
∵FO＝FC
∴F在OC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴FB垂直平分OC，故①是正确的；
②由①可得，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠OAB＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ACB＝30°，
∵FO＝FC，
∴∠FOC＝∠ACD＝30°，
∴∠FOB＝∠FOC+∠COB＝90°，
∴∠OFB＝90°﹣∠OBF＝60°，OB⊥EF，
∵BF垂直平分OC，
∴∠CFM＝∠OFB＝60°，
∴∠DFE＝180°﹣2∠OFB＝60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEF＝∠DFE＝60°，
∴∠BEF＝∠OFB＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB⊥EF，
∴OB垂直平分EF，
∵O是AC的中点，
∴连接OD，
∴B，O，D三点是共线的，O一定是BD的中点，
∴BD垂直平分EF，
∴DE＝DF，
∵∠DFE＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝EF，故②是正确的；
③∵FB垂直平分OC，
∴∠CBM＝∠OBM＝30°，∠CMB＝90°，
又∠OBE＝90°﹣∠CBO＝30°，
∴∠CBM＝∠OBE，
过O作OH⊥BE于H，如图，

∴∠OHB＝∠CMB＝90°，
∴△OHB≌△CMB（AAS），
∴OH＝CM，
∵

，

，
∴

，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∴△OFC∽△OEA，
∴

，
∴AE＝FC，
设FM＝a，
在直角△FCM中，

，
∴FC＝2FM＝2a，
同理，BF＝2FC＝4a，
∴BM＝BF﹣FM＝3a，AE＝FC＝2a，
∴S_△AOE：S_△BOM＝AE：BM＝2：3，
∴是③错误的；
④∵△DEF与△BEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF＝BE＝BF，
∴四边形DEBF是菱形，
由③可得，菱形的边长DF＝BF＝4a，
在Rt△BCF中，

，
∴

，
在△BOM中，

，
∴

，
∴S_△DEF：S_△BOM＝8：3，故④正确，
综上所述正确答案为①②④．
故答案为：①②④．

[点评]

本题考查了"等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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