从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角这个角的两边与多边形的两边相交该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的投射图形如图正方形的边为与正方形的边分别交于点点此时对正方形的投射图形就是四边形若则四边形的面积为如图有一块菱形草地规划部门计划在这块空地内种植四种花卉计划在边上分别取点利用三条小路

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25628. （2023•爱知中学•二模）从多边形的一个顶点引出两条射线形成一个角，这个角的两边与多边形的两边相交，该多边形在这个角的内部的部分与角的两边围成的图形称为该角对这个图形的“投射图形”．
（1）如图1，正方形ABCD的边为4，∠EAF与正方形ABCD的边BC、CD分别交于点E、点F，此时∠EAF对正方形ABCD的“投射图形”就是四边形AECF；若CE=3，CF=2，则四边形AECF的面积为；
（2）如图2，有一块菱形草地ABCD，规划部门计划在这块空地内种植四种花卉，计划在边BC、CD上分别取点E、F，利用三条小路AE、AF、EF把这块草地分割成四块种植区，已知AB=200m,∠D=120°，请帮助规划部门根据下列要求解决问题：
①若∠EAF对菱形ABCD的“投射图形”四边形AECF的面积为菱形ABCD面积的

，求CE+CF的值．
②在①的条件下，要使中间部分（△AEF）种植区面积尽可能小，求△AEF面积的最小值．
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[考点]

二次函数图像的最值问题，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，四边形综合题，

[校正]

[答案]

（1）10；
（2）①CF+CE=200m；
②△AEF面积的最小值为7500m²．

[解析]

解：（1）∵正方形ABCD的边为4，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵CE=3，CF=2，
∴S_{四边形AECF}=S_△CAE+S_△CAF=

×AB•CE+

×AD•CF=

×3×4+

×2×4=10，
故答案为：10；
（2）①连接AC，过点A作AM⊥BC交CB延长线于点M，过点A作AN⊥CD交CD延长线于点N，
$菁优网$
∵菱形ABCD，AB=200m,∠D=120°，
∴AB=BC=CD=AD=200m,∠ACD=∠BCD=30°，
∴∠NAD=∠MAB=30°，
∴BM=100m,AM=100

m,ND=100m,AN=100

m,
∴S_{四边形AECF}=S_△ACE+S_△ACF=

×100

×CF+

×100

×CE＝50

×(CF+CE)，S_菱形ABCD=AN•CD=200•100

=20000

，
∵四边形AECF的面积为菱形ABCD面积的

，
∴50

×(CF+CE)＝

×20000

，
解得：CF+CE=200m；
②设CF=x m,由①CF+CE=200m,可得CE=（200-x）m,
过点F作FP⊥BC于点P，则CP＝

CF＝

x,FP＝

x，
$菁优网$
∴S_△ECF=

CE•FP=

（200-x）×

x=-

（x-100）²+2500

，
∴当x=100时，S△ECF＝2500

最大，
即△AEF面积的最小值为7500

m²．

[点评]

本题考查了"二次函数图像的最值问题,含30度角的直角三角形,勾股定理,平行四边形的性质,四边形综合题"，属于"综合题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

212398. （2025•交大附中•一模）数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下：
【任务一】在如图的矩形板材ABCD中，AB=40cm,AD=80cm,取AD边上一点E，ED=30cm,请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F，连接EF，使得线段EF平分矩形ABCD的面积，则线段EF的长为 cm.
【任务二】在完成任务一后，取线段EF的中点O，点M和点N是线段EF上两点，且OM=ON=10cm（M在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段BC上找一点P，连接PM和PN，使得∠MPN角度最大，请帮兴趣小组计算，当∠MPN角度最大时，sin∠MPN的值．
【任务三】在任务二的结论下，线段EF的左侧是否存在点Q，连接QM和QN，使得∠MQN=∠MPN，且满足四边形QNPM的面积最大，若存在，求出四边形QNPM的面积最大值；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2025-03-13 难度:1 相似度:1.2

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191817. （2023•经开一中•九上二月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
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共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.2

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284560. （2023•滨河中学•二模）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，则BC边上的高为　　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠C＝90°，

，BC＝10，Rt△AEF的直角顶点E在边BC上，顶点F在边CD上，若∠AFE＝60°，求CF的长．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，AD＝12，CD＝16，△AEF的顶点E，F分别在边BC，CD上，若∠AEF＝60°，△ADF的面积是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，说明理由．

共享时间:2023-03-19 难度:1 相似度:1.2

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191811. （2023•经开一中•九上二月） $德优题库$ 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，请用尺规作图的方法在AC上找一点D，使得DC=2AD．（不写作法，保留作图痕迹）

共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.2

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277380. （2023•交大附中•四模）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，BC=6，点D为斜边AC的中点，且BD=5，求tan∠DBC的值；
问题解决
（2）如图②，现有一块边长为1米的正方形钢板ABCD，其中∠B，∠C，∠D均有不同程度的磨损，不能使用，王师傅计划过点A裁出一个形如四边形AEGF的零件，其中点F，G，E分别在边AB，BC，CD上，且点F为AB的中点．
①王师傅想要使得∠FGE=90°，在手头没有直角尺的情况下，进行如下操作：
第一步：取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上任意点出M，N两点；
第二步：将木棒斜放在钢板上，使点M与点F重合，保持点N不动，将木棒进行旋转，使点M落在BC上，在钢板上将点M对应的位置标记为点G；
第三步：将FN延长，再将木棒绕点N旋转，使点M落在FN的延长线上，记点M的对应点为点Q；
第四步：作射线GQ交DC于点E，则∠FGE=90°．
请问，王师傅的操作方法是否能够得到∠FGE=90°？请证明．
②在①的条件下，王师傅想要得到最大面积的四边形AEGF，请你计算四边形AEGF面积的最大值．
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共享时间:2023-04-16 难度:1 相似度:1.2

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287660. （2019•益新中学•三模）问题提出
（1）如图1点C为线段AB外一点，且AB=8，AC=7，那么线段BC长的最大值是，最小值是．
问题探究
（2）如图2点C为线段AB外一点，已知AB=8，AC=7，点D，点E分别是△CAB外两点且△DAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，△CBE是以CE为斜边的等腰直角三角形，连接AE、BD，试探究线段AE的最大值？
问题解决
（3）某湿地公园利用河流荒滩建立野生动物园，经过测量湿地是一大块四边形ABCD，其中BA=BC，∠ABC=90°．边AD长24千米，CD长18千米，为了方便照顾好园区的动物，规划部门要求要经过BD修建一条笔直的公路且最长的公路，你能帮助计算出最长公路和此时动物园占地面积吗？ $德优题库$

共享时间:2019-04-08 难度:1 相似度:1.2

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210838. （2025•曲江一中•六模） $德优题库$ 问题提出
（1）如图①，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，点E是AD上一点，且AE=1，过点E的直线与BC交于点F．若EF平分菱形ABCD的面积，求四边形ABFE的周长；
问题解决
（2）某生物研究所在一块矩形草地上进行生物体的样本采样和研究工作，如图②，在矩形草地ABCD中，AB=80m,BC=100m,现规划在草地上△ABP区域内搭建帐篷，顶点P在矩形内，且tan∠APB=2，为了提升工作效率，过点P的直线l将矩形ABCD的面积平分为两部分，左侧为研究区，右侧为采样区，且P到AD，AB的距离相等，直线l分别交AD，BC于点M，N，是否存在满足要求的点M，N，若存在，求出此时AM，CN的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，P，M，N，C，D在同一平面内）

共享时间:2025-05-19 难度:1 相似度:1.2

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285895. （2022•交大附中•一模）（1）如图①，点A、点B在直线l同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一定点，OP＝5，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形OABC中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC＝2，OC＝

，点H为OA边上的一点且OH＝4，点P，F分别在边AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-03-13 难度:1 相似度:1.2

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287303. （2020•师大附中•九模）问题提出
（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB=60°（只作出满足条件一个图形即可）；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=10，求四边形ABCD的面积．
问题解决
（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
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共享时间:2020-06-15 难度:1 相似度:1.2

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284325. （2023•铁一中学•二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．
（1）如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为；
（2）如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
（3）如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
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共享时间:2023-03-16 难度:1 相似度:1.2

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276121. （2023•师大附中•六模） $德优题库$ 如图是某景区的观光扶梯建设示意图，其中AC、DE为两段扶梯，CD为平台，EB为水平地面，扶梯AC和平台CD形成的∠ACD为135°，DE段的坡角为30°（即∠DEB=30°），AC段扶梯长20米，A到EB的距离为30米．求DE段扶梯的长度．

共享时间:2023-05-23 难度:1 相似度:1.2

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276177. （2023•曲江一中•六模）已知正方形ABCD，在边DC上有一动点E，连接AE，一条与AE垂直的直线l沿AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，交边AD所在直线于点F．
（1）如图1所示，当直线l经过正方形ABCD顶点B时，则

＝　　．
（2）如图2所示，直线l沿AE继续向上平移，连接PB，当AB＝6，S_△PAB＝12，求PA+PB的最小值；
（3）如图3所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交于点G，连接EG，求∠AEG的度数．

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:1.2

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277028. （2023•西工大附中•七模）问题提出：
（1）如图1，N为正方形ABCD内一点，连接AN，DN，点M在DN延长线上，连接AM，BM，若∠BMD=∠MAN=90°，则∠AND= °；
问题解决：
（2）参观研学观光园是近年来兴起的一种研学旅行模式．如图2所示的五边形AMBCD为某研学观光园的规划设计图．其中AD∥BC，AD=AB=BC=400m,点P是两条笔直的观光小路AB与MD的交叉口，点N是小路AC与MD的交叉口，经测量∠BMD=∠MAN=∠BAD=60°．
①若点P恰为观光小路AB的中点，求此时小路AN的长度；
②观光园的设计者从实用和美观的角度综合考虑，想将园中由点B，N，C构成的三角形区域建设为采摘园，且使采摘园△BNC面积最小．是否存在这样的面积最小的△BNC？若存在，请求出这个面积的最小值；若不存在，说明理由．
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共享时间:2023-06-04 难度:1 相似度:1.2

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244229. （2023•师大附中•八下期末）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C₁处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13，CN=5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF-PD=3，请直接写出△ABC的面积．
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共享时间:2023-07-10 难度:1 相似度:1.2

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275870. （2024•二十六中•三模）【问题提出】（1）如图1，在直线AB上找一点P，使得点P到C，D的距离之和最小；
【问题探究】（2）如图2，已知点D是△ABC边BC上一点，AB=4，BC=8，AC=CD=6．求AD的长；
【问题解决】（3）如图3，在一块边长为40米的正方形ABCD的花园中，点P是内部一点，为了有好的欣赏效果，设计者在PA，PD，PC之间修三条小路（宽度不计），将花园分为三部分种植不同的花卉．根据调查可知修路PC每米200元，修路PD每米100元，修路PA每米100元．测得PA长为20米．设计者想知道修三条小路的费用是否有最小值，若有，求出最小值，若没有，请说明理由．
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共享时间:2024-04-04 难度:1 相似度:1.2

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dysx2021

2023-04-28

初中数学 | | 解答题

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2023年陕西省西安市新城区爱知中学中考数学二模试卷

更新:2023-04-28 02:30浏览量:1040

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