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197932. （2024•滨河中学•九上期中）如图，在平行四边形ABCD中，

，E是BC边上的点，AB＝BE＝5，EC＝2，F是CD边上的一点，且DF＝1，若M、N分别是线段AE、AD上的动点，则MN+NF的最小值为　．

共享时间:2024-11-22 难度:1

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[考点]

锐角三角函数的定义，

[答案]

．

[解析]

解：作F关于AD的对称点P，连接NP，MP，AP，EP，PE交D于T，过P作PQ⊥AE于Q，连接PF交AD于H，延长PF交BC延长线于G，过A作AR⊥BE于R，如图：
由对称的性质可知，NP＝NF，DP＝DF＝1，PF⊥AD，∠PDA＝∠CDA，
∴NF+MN＝NP+MN≥PM≥PQ，
∴当P，N，M共线且PM⊥AE时，NF+MN最小，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AB＝CD，AD＝BC＝BE+EC＝7，AD∥BC，
∴∠PDA＝∠B，
∴PH＝

，DH＝

，
∴AH＝

，
在Rt△ABR内，AB＝5，sinB＝

，
∴AR＝4，BR＝3，
∴ER＝BE﹣BR＝2，
∴AE＝2

，
∵AD∥BC，
∴HG＝AR＝4，∠DCG＝∠ADC＝∠B，
∵CF＝CD﹣DF＝4，
∴CG＝

，
∴EG＝

，
∵TH∥EG，
∴

＝

＝

＝

，
∴TH＝

，
∴AT＝AH﹣TH＝

，
∵S_△APE＝

AE•PQ＝S_△ATP+S_△ATE＝

AT•PH+

AT•HG＝

，
∴PQ＝

，
即MN+NF的最小值为

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"锐角三角函数的定义，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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181066. （2023•西安市航天城第一中学•九上二月）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是．

共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:2

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197337. （2024•师大附中•九上期中） $德优题库$ 如图是一个自动扶梯的示意图，则tanβ= ．

共享时间:2024-11-28 难度:1 相似度:2

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198984. （2022•交大附中•九上期中） $德优题库$ 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为．

共享时间:2022-11-26 难度:1 相似度:2

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23080. （2021•高新一中•九上期中） $德优题库$ 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．

共享时间:2021-11-25 难度:3 相似度:1.33

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190284. （2025•高新区•九上期末）如图，已知

，若点F（3，m）是射线OA上的点，则m＝　　．

共享时间:2025-02-02 难度:3 相似度:1.33

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dyczsxyn

2024-11-22

初中数学 | 九年级上 | 填空题

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更新:2024-11-22 08:38浏览量:22