开曾勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据发表了开普勒三大定律在研究行星绕太阳运动的规律时将行星轨道简化为一半径为的圆轨道如图所示设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内扫过的扇形面积为求行星绕太阳运动的线速度的大小并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动提示扇形面积半径弧长请结合开普勒第三定律牛顿运动定律证明太阳对行星的引力与行星轨道半径的平方成反比

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161686. （2023•高新一中•高一下期末）开曾勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，发表了开普勒三大定律。在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为r的圆轨道。
（1）如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间Δt内，扫过的扇形面积为ΔS。求行星绕太阳运动的线速度的大小v，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：扇形面积＝

×半径×弧长）
（2）请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。

共享时间:2023-07-11 难度:1

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[考点]

开普勒三大定律，

[答案]

见解析

[解析]

解：（1）行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间Δt内，扫过的扇形面积为ΔS＝

，得

，由开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即

为常量，也行星绕太阳运动的线速度的大小也为常量，所以行星做匀速圆周运动；
（2）设行星的质量为m，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有

，由开普勒第三定律

，解得：

，其中4π²mk为常量，太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。
答：见解析

[点评]

本题考查了"开普勒三大定律，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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（1）同步卫星A的线速度v_A；
（2）同步卫星A和空间站B所在处的加速度大小之比a_A：a_B；
（3）同步卫星A和空间站B再次相隔最近的时间t。

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