问题提出如图已知直线及外一点试在直线上确定两点使并画出这个问题探究如图是边长为的正方形的对称中心是边上的中点连接试在正方形的边上确定点使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分求点到点的距离问题解决如图有一个矩形花园根据设计要求点在对角线上且并在四边形区域内种植一种红色花卉在矩形

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652. （2019•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

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[考点]

三角形的面积，矩形的性质，正方形的性质，四边形综合题，

[校正]

[答案]

答案如下

[解析]

解：（1）如图①所示，Rt△ABC即为所求．（只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可）；

（2）如图②，∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM＝CM，
∴S_△_BOM＝

×28²＜

×28²，
∴点N不可能在BM上，由对称性，可知点N也不可能在MC上，
显然，点N不在AD边上，
∴设点N在AB边上，连接ON．
由题意，得

（BN+14）×14＝

×28²，
解之，得BN＝2．
由对称性知，当点N在CD边上时，可得CN＝2．
∴MN＝

＝10

．

（3）如图③所示，过点A作AH⊥BD于点H，

在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，AB＝30，AD＝40，
∴BD＝

＝

＝50，
∵

•AB•AD＝

•BD•AH，
∴AH＝24，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S_△_AEF＝S_△_CEF，
∴S_四边形_AECF＝2S_△_AEF＝2×

×EF•AH＝24EF，
由题意可知，只有S_四边形_AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使S_四边形_AECF最小，就需EF最短，
∵AH⊥EF，tan∠HAD＝tan∠ABD＝

＜

，tan∠BAH＝tan∠ADB＝

＜

，
∴∠HAD＜60°，∠BAH＜60°，
又∵∠EAF＝60°，
∴E、F两点分布在AH异侧．
∴△AEF为锐角三角形，
作其中任一锐角△AEF的外接圆⊙O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF＝2GF，∠GOF＝∠EAF＝60°，
在Rt△OGF中，OF＝2OG，GF＝

OG，
∴EF＝2

OG，
又∵OA+OG≥AH，OA＝OF＝2OG，
∴2OG+OG≥24，得OG≥8，
∴EF＝2

OG≥16

，
∴当圆心O在AH上，即AE＝AF时，EF＝16

，
∴EH＝8

＜18＝BH，FH＝8

＜32＝HD，
∴当AE＝AF时，点E、F在BD上，
∴S_四边形_AECF的最小值为24×16

＝384

，
∴384

×210+（30×40﹣384

）×180＝216000+11520

≈235584（元）．
∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．

[点评]

本题考查了"三角形的面积矩形的性质正方形的性质四边形综合题 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

转载声明：

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

782. （2019•陕西省•暑假）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

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284273. （2023•铁一中学•四模）问题发现
（1）如图1，已知正方形ABCD，G为CD边上一点（不与端点重合），以CG为一边作正方形CGFE，连接BD，BF，DF，若AB＝4，则△BDF的面积为　　；
问题解决
（2）如图2，已知有一四边形场地ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，

，测得BC＝400米，现在需要修建一块三角形区域DEF为休闲区，其中E为BC的中点，且EF⊥CD于点F，问三角形地块DEF的面积能否取到最大值？若能，请求出这个最大值；若不能，试说明理由．

共享时间:2023-04-24 难度:2 相似度:1.5

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212398. （2025•交大附中•一模）数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下：
【任务一】在如图的矩形板材ABCD中，AB=40cm,AD=80cm,取AD边上一点E，ED=30cm,请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F，连接EF，使得线段EF平分矩形ABCD的面积，则线段EF的长为 cm.
【任务二】在完成任务一后，取线段EF的中点O，点M和点N是线段EF上两点，且OM=ON=10cm（M在O点上方，N在O点下方），要求兴趣小组在线段BC上找一点P，连接PM和PN，使得∠MPN角度最大，请帮兴趣小组计算，当∠MPN角度最大时，sin∠MPN的值．
【任务三】在任务二的结论下，线段EF的左侧是否存在点Q，连接QM和QN，使得∠MQN=∠MPN，且满足四边形QNPM的面积最大，若存在，求出四边形QNPM的面积最大值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-03-13 难度:1 相似度:1.25

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291453. （2020•铁一中学•四模）如果一个三角形的三个顶点都落在一个矩形的边上（含顶点）．则称这个三角形为矩形的内接三角形．
问题发现（1）如图1，等边△AEF内接于正方形ABCD，若AE=2，则正方形ABCD的面积为；
探索问题（2）如图2．若等边△AEF内接于正方形ABCD，试证明△ABE和△ADF的面积之和等于△CEF的面积；
拓展应用（3）如图3．若等边△AEF内接于矩形ABCD（AB＜AD）．请问（2）中的结论是否成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2020-04-28 难度:1 相似度:1.25

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196609. （2024•西工大附中•七下期末） $德优题库$ 甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了天，甲组挖掘的总长度是 m；
（2）求乙组停工后y关于x的关系式．

共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:1.25

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287303. （2020•师大附中•九模）问题提出
（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB=60°（只作出满足条件一个图形即可）；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=10，求四边形ABCD的面积．
问题解决
（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
$德优题库$

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285895. （2022•交大附中•一模）（1）如图①，点A、点B在直线l同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一定点，OP＝5，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形OABC中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC＝2，OC＝

，点H为OA边上的一点且OH＝4，点P，F分别在边AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-03-13 难度:1 相似度:1.25

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283194. （2023•高新一中•三模） $德优题库$ 如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF=180°（不写作法，保留作图痕迹）．

共享时间:2023-04-02 难度:1 相似度:1.25

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284789. （2022•高新一中•八模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝

cm．动点P在边AB上从点A向点B运动，速度为1cm/s；过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm²）．
（1）当x＝　　 s时，点Q与点C重合；
（2）①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②在点P的运动过程中，是否存在y的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-06-11 难度:1 相似度:1.25

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284325. （2023•铁一中学•二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．
（1）如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为；
（2）如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
（3）如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-03-16 难度:1 相似度:1.25

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274880. （2024•西工大附中•九模）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在边BC上．连接AP，过点P作PQ⊥AP．求AQ的最小值；
（2）如图②，矩形ABCD是某公园示意图，其中AB＝600米，BC＝800米．为了进一步改善人居环境，现需要对公园进行改扩建．根据现场勘察情况，边DC的外边有一片空地可以扩建．设计部门打算把扩建部分设计为直角三角形，即Rt△CDE，且∠CED＝90°，同时要在扩建后的五边形公园ABCED中的边BC上开一个门F，使得点F到点A、点E的距离相等且∠AFE＝90°．试问这样的设计能否实现？若能，求出扩建部分△CDE的面积及点F到点B的距离；若不能，请说明理由．

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.25

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212415. （2025•交大附中•四模） $德优题库$ 如图，已知△ABC．请用尺规作图法，在△ABC外求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形面积是△ABC面积的2倍．（作出符合题意的一个四边形即可，保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2025-04-27 难度:1 相似度:1.25

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212372. （2025•西安三中•二模） $德优题库$ 问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是CD的中点，点F，G分别在AD，AB上，且AF=2，BG=1，求△EFG的面积；
问题解决
（2）如图②，五边形ABCDE是某水上乐园的平面设计图，已知AB=200m,CD=250m,DE=400m,AE=500m,∠E=60°，AB∥DE，AE∥CD．现计划在园区内设计四边形人工湖BCFG用于开发水上游乐项目，G，F分别是AE，DE上的点，按照设计要求，GF∥AD，为了应对夏日客流高峰，人工湖的面积要建得尽可能大，是否存在符合设计要求的面积最大的人工湖？若存在，求四边形BCFG的最大面积及此时DF的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-03-20 难度:1 相似度:1.25

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277028. （2023•西工大附中•七模）问题提出：
（1）如图1，N为正方形ABCD内一点，连接AN，DN，点M在DN延长线上，连接AM，BM，若∠BMD=∠MAN=90°，则∠AND= °；
问题解决：
（2）参观研学观光园是近年来兴起的一种研学旅行模式．如图2所示的五边形AMBCD为某研学观光园的规划设计图．其中AD∥BC，AD=AB=BC=400m,点P是两条笔直的观光小路AB与MD的交叉口，点N是小路AC与MD的交叉口，经测量∠BMD=∠MAN=∠BAD=60°．
①若点P恰为观光小路AB的中点，求此时小路AN的长度；
②观光园的设计者从实用和美观的角度综合考虑，想将园中由点B，N，C构成的三角形区域建设为采摘园，且使采摘园△BNC面积最小．是否存在这样的面积最小的△BNC？若存在，请求出这个面积的最小值；若不存在，说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-06-04 难度:1 相似度:1.25

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277012. （2023•西工大附中•七模） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1，2），（5，2）．若一次函数y=kx-2（k≠0）的图象经过C点，且与x轴、y轴分别交于点M，N，求△OMN的面积．

共享时间:2023-06-04 难度:1 相似度:1.25

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艺黎

2019-07-10

初中数学 | | 解答题

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2019陕西中考数学试卷（副题）

更新:2019-07-10 06:33浏览量:2362

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