如图中为对角线边上两个动点不与点重合连接若则的最小值为

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230635. （2025•西工大附中•六模）如图，▱ABCD中，AD=4，∠ADB=60°，E、F为对角线BD边上两个动点（不与点B、D重合），连接AE、CF．若DE：BF=2：1，则AE+2CF的最小值为．
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共享时间:2024-12-01 难度:4

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[考点]

线段的性质：两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，胡不归问题，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：以点D为顶点，DB为一边在DB的上方作∠TDE＝60°，且使DT＝2BC，连接AT，过点T作TH⊥AD，交AD的延长线于点H，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝4，
∴BC＝AD＝4，AD∥BC，
∵∠ADB＝60°，
∴∠CBF＝∠ADB＝60°，
∴DT＝2BC＝8，∠TDE＝∠CBF＝60°，
∴

＝2，
又∵DE：BF＝2：1，
∴

＝

＝2，
∴△TDE∽△CBF，
∴

＝

＝2，
∴TE＝2CF，
∴AE+2CF＝AE+TE，
∴当AE+TE为最小时，AE+2CF为最小，
根据“两点之间线段最短”得：AE+TE≤AT，
∴当A，E，T在同一条直线上时，AE+TE为最小，最小值是线段AT的长，
∴AE+2CF的最小值是线段AT的长，
∵∠DAB＝∠TDE＝60°，
∴∠TDH＝60°，
∵TH⊥DH，
∴在Rt△TDH中，∠DTH＝90°﹣∠TDH＝30°，
∴DH＝

DT＝4，
由勾股定理得：TH＝

＝

，
在Rt△ATH中，AH＝AD+DH＝8，
由勾股定理得：AT＝

＝

．
AE+2CF的最小值是

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"线段的性质：两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，胡不归问题"，属于"压轴题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23276. （2021•师大附中•九上期中）如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，点F为边AD上靠近A的三等分点，连接BE、CF相交于点O，若△COE的面积为1，则▱ABCD的面积为．
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共享时间:2021-11-26 难度:4 相似度:1.4

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461. （2017•陕西省•副题）如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为　　

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1.07

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22975. （2021•铁一中学•九上期中） $德优题库$ 在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2

，AB=3，则AF的长为．

共享时间:2021-11-15 难度:3 相似度:1.07

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21705. （2021•交大附中•七模）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC=6，PQ=4，则PC+AQ的最小值为．
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共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.07

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24626. （2022•陕西省•真题）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为　　．

共享时间:2022-06-21 难度:4 相似度:0.9

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3109. （2019•滨河中学•模拟）如图，在△ABC中，AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是　　cm．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:0.8

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22433. （2021•师大附中•九上一月） $德优题库$ 如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G，F，连接EF、DF，若AB=3，BC=4，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．