如图是的外接圆是直径上一点的平分线交于点交于另一点求证设垂足为若求的长

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212188. （2025•滨河中学•四模） $德优题库$ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，CD⊥AB．
（1）求证：FA=FE；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长．

共享时间:2025-04-25 难度:1

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[考点]

圆的综合题，

[校正]

[答案]

（1）见解析；（2）4

．

[解析]

（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠CEB，
∵∠FAB＝∠BCE，∠AEF＝∠BEC，
∴∠FAE＝∠AEF，
∴AF＝EF；
（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3，
∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝

＝

＝4

．

[点评]

本题考查了"圆的综合题，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

278562. （2025•铁一中学•九模） $德优题库$ 为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为75米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF的长度．

共享时间:2025-06-20 难度:1 相似度:2

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196948. （2024•交大附中•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，在线段AB的上方画出一点C，使得∠ACB＝60°．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，

，AD＝6．点P是圆心角为120°的圆弧AD上的一点，点E在BC边上，且BE＝1．连接EP，求EP的最大值．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是一个仓库的平面图，设计者想在DC边上的点E处安装一个监测仪，以监测门口AB处人员进出情况，此时∠AEB＝45°．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，CE＝2DE＝24米．求此时监测仪E到大门AB的水平距离．

共享时间:2024-02-20 难度:1 相似度:2

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211150. （2025•阎良区•一模）【问题提出】
（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝95°，则∠D的度数为　　 °；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝30，点P在边AD上，且AP＞DP，连接BP、CP，tan∠BPC＝

，求PC的长；
【问题解决】
（3）2025年3月9日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图3所示，在四边形ABCD中，对角线AC为一条走廊，在边AB和走廊AC上分别取点F、E，连接DF交AC于点P，并规划△PEF区域为咨询中心，△PDE区域为评估中心，其他区域为实训中心．根据设计要求，点D到AC的距离为70米，tan∠BAC＝

，点A、D、E、F在同一个圆的圆周上，评估中心（△PDE）的面积为2800平方米，请你求出评估中心（△PDE）的周长．

共享时间:2025-03-06 难度:1 相似度:2

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210994. （2025•高新一中•四模）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB=60°，AB=4，点O是△ABC外接圆的圆心，则△ABC面积的最大值是；
【问题解决】
（2）如图②所示，道路AB的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园ABCDE，根据设计要求：∠DAB=∠BCD=60°，∠AED=120°，AD，BD为公园内的两条步行直道，BD=800m,M为BD的中点．设计师还需在BC上选取一点F，经过点M修建一条步行直道EF，在四边形ABCD面积最大的前提下，EF平分五边形ABCDE的面积．请问：是否存在满足设计要求的点E和点F？若存在，求出此时EF的长度；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，D，E，M，F在同一平面内，直道AD，BD，EF的宽度均忽略不计，结果保留根号）
$德优题库$

共享时间:2025-04-24 难度:1 相似度:2

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210968. （2025•高新一中•五模）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，AB=6，C是⊙O上任意一点，若⊙O的半径为2，点O到AB的距离为5，则△ABC面积的最小值为；
【问题解决】
（2）如图②，四边形ABCD是一块平行四边形空地，经测量AB=300m,BC=600m,∠BAD=120°．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形ABCD内一点M处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为AM，BM，CM，DM，且∠ABM=∠MCB．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中△AMD区域种植牡丹，为节约成本，要求△AMD面积尽可能的小．请问：是否存在符合要求的三角形区域？若存在，求出△AMD面积的最小值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:2

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210864. （2025•曲江一中•四模）【问题提出】
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是边BC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则EF的最小值为　　．
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，AC＝3

，点D是BC边上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，⊙O是四边形AEDF的外接圆，求⊙O直径的最小值．
【问题解决】
（3）某小区内有一块形状为四边形的空地，如图③所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝200

米，AB＝400

米，点E在CD上，且CE＝2DE，F、G分别是边AB、BC上的两个动点，且∠FEG＝60°．为了改善人居环境，小区物业准备在尽可能大的四边形BFEG区域内种植花卉，请问这个四边形BFEG区域的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-30 难度:1 相似度:2

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210812. （2025•曲江一中•三模）【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝12，点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则PE的最小值为　　；
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD＝BC＝4，P为△ABC内一点，当

时，求PB+PC的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，滨河学校餐厅门口有一块“疯狂四季”四边形菜园ABCD，∠ABC＝∠BAD＝60°，AC与BD相交于点P，且AD+BC＝AB，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，即AE⊥BE，BE＝200

米，赵老师准备在△ABP内种植当季蔬菜，边BE的中点F为菜园出入口，为了种植方便，她打算在AE边上取点M，并沿PM、MF修两条人行走道，要求人行走道的总长度尽可能小，问PM+MF的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-04-01 难度:1 相似度:2

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210760. （2025•曲江一中•五模）（1）如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为60°．若AC=10，BD=8，求平行四边形ABCD的面积．
（2）如图②，是某公园的圆形空地，O为圆心，AB为⊙O直径，AB=200m,规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点D和点E，点G和点F分别关于AB对称，DF与GE交于点C，且DF⊥EG，四边形DEFG为牡丹园，设AC的长为x（m），牡丹园DEFG的面积为S（m²）．
①求S与x之间的函数关系式；
②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？
$德优题库$

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:2

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210578. （2025•师大附中•三模） $德优题库$ 综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验．对“图形T到图形U的最近距离”进行研究．
定义：平面内，M为图形T上任意一点，N为图形U上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T到图形U的最近距离，记作d（T-U）．
例如：在平面上有A、B两点，且AB=2，将点A记为图形T，点B记为图形U，则d（T-U）=AB=2．
数学理解：
（1）在平面内有A、B两点，将点A记为图形T，以点B为圆心，5为半径作⊙B，将⊙B记为图形U，若d（T-U）=2，则AB= ．
（2）在平面直角坐标系中，D，E两点的坐标分别为（5，5），（5，-5），将△DOE记为图形T；P的坐标为（t,0），⊙P的半径为2，将⊙P记为图形U，若d（T-U）=1，则t的值为．
推广运用：
（3）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为其内一点，且点E与点B的距离为1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，将点A记为图形T，将满足条件的点F构成的图形记为图形U，求d（T-U）的值．

共享时间:2025-04-11 难度:1 相似度:2

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210526. （2025•师大附中•五模）问题探究
（1）如图1，在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝60°，O是△ABC的外接圆的圆心，则OA的长为　．
问题解决
（2）如图2，矩形ABCD是一个公园，其中AB＝100米，AD＝60米，P为CD中点．现计划在公园中修建两座雕塑M、N，要求M、N间距为40米，且MN∥AB．为便于灯光布置，还要求M、N的位置满足∠MPN＝45°．同时计划从入口处A到雕塑M之间建一条小路AM，为节约建设成本，小路AM应尽可能短．请求出小路AM长的最小值．（点M、N、P与矩形ABCD在同一平面内，道路AM的宽度与雕塑M、N及入口A的大小均忽略不计，结果保留根号）

共享时间:2025-05-05 难度:1 相似度:2

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210524. （2025•师大附中•五模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过BC上一点D作DE⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点F．
（1）求证：∠DCF＝∠CDF；
（2）若D为BC的中点，⊙O的半径为5，cos∠CDF＝

，求CF的长．

共享时间:2025-05-05 难度:1 相似度:2

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195801. （2025•阎良区•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，在扇形MAB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为

上一动点，连接AB，MP，AB与MP相交于点Q，若

，BM＝9，求PQ的最大值；【问题解决】
（2）如图2，某公园有一圆形水池⊙O，AB，AD是水池上的两座长度相等的小桥，且∠BAD＝60°，现规划人员计划再修建两座小桥BC和CD，桥的入口C在水池边上（即点C在⊙O上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大，已知AB＝AD＝60m，修建小桥的成本为100元/m，当四边形ABCD的面积最大时，求修建BC和CD两座小桥的总成本．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:2

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211280. （2025•西咸新区•一模）问题提出
（1）如图1，点C为线段AB上方的动点，连接AC、BC，满足∠ACB=90°，若AB=8，则点C到AB的最大距离为；
（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，AB=AC=AD，若∠BAD=130°，求∠BCD的度数；
问题解决
（3）某科技公司现有一块形如四边形ABCD的研发基地，其大致示意图如图3所示，其中∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=400m,BC=600m.为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：E为BC边上的动点（不与端点重合），连接AE，点B关于AE的对称点为B′，连接DB′并延长，交AE延长线于点F，连接BF、CF，将△BCF区域修建成新能源研发区．为保证研发效果，要使研发区（即△BCF）的面积尽可能的大，请问△BCF的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCF的最大值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-03-04 难度:1 相似度:2

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192203. （2023•高新三中•九上二月）问题提出
（1）如图①，⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，则圆上一动点P到直线l的距离的最大值为　　，最小值为　　．
问题探究
（2）如图②，已知AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若

，求AD的长．
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，∠C＝45°且CD＝BC．在四边形内部存在一点P使得

，连接BP，将BP绕点B逆时针旋转90°至BF，连接AF，问是否存在F使得△CDF的面积最大？若存在，请求出△CDF面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-17 难度:1 相似度:2

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190544. （2025•西安三中•九上期末）如图1，在扇形AOB中，点O为扇形所在圆的圆心，

，∠AOB＝120°，点C是

上一点，则△ABC面积的最大值为　　；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，菱形ABCD是一个广场示意图，其中菱形边长AB为120米，∠A＝60°，市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区DEBF，这块四边形区域需要满足BE＝BF，∠EBF＝60°，∠EDF＝75°，则这块四边形区域DEBF的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此时线段BF的长，若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:2

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ynb@dyw.com

2025-04-25

初中数学 | | 解答题

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更新:2025-04-25 05:31浏览量:42

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