如图所示长方形纸片点为边上不与端点重合的一动点将纸片沿翻折至长方形所在平面内得到连接若且是以为腰的等腰三角形则

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197008. （2024•交大附中•八上期末） $德优题库$ 如图所示，长方形纸片ABCD，点E为AD边上不与端点重合的一动点，将纸片沿BE翻折至长方形ABCD所在平面内得到△BEF，连接CF，DF，若AB=3，BC=2，且△CDF是以CF为腰的等腰三角形，则AE= ．

共享时间:2024-03-01 难度:4

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[考点]

等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：当△CDF是以CF为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当FC＝FD时，如图，过F作FM⊥AB于M，交CD于点N，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴FN⊥CD，
∵FC＝FD，
∴MN是长方形的对称轴，
如图，连接AF，

∴FA＝FB＝3，
∵AB＝3，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
由折叠得：∠ABE＝∠EBF＝

ABF＝30°，
∴AE＝

•AB＝

×3＝

；
②当FC＝DC时，如图，过F作FG⊥AD，交AD于G，交BC于H，

∵AD∥BC，
∴GH⊥BC，
∵AB＝BF，AB＝CD，
∴BF＝FC，
∴BH＝CH＝1，
由勾股定理得：FH＝

＝

＝2

，
∵∠A＝∠ABC＝∠BHG＝90°，
∴四边形ABGH为矩形，
∴GH＝AB＝3，AG＝BH＝1，
∴FG＝GH﹣FH＝3﹣2

，
设AE＝x，则EF＝x，EG＝AG﹣AE＝1﹣x，
由勾股定理得：x²＝（1﹣x）²+（3﹣2

）²，
∴x＝9﹣6

，
∴AE＝9﹣6

，
综上所述，AE的长为

或9﹣6

．
故答案为：

或9﹣6

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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