如图在平面直角坐标系中点分别为轴上一点将线段绕点顺时针旋转得到线段连接如图若点则点的坐标为如图若点为轴上一动点点使得求点的坐标如图若点为轴上一动点点请问的周长是否有最小值若有求的周长的最小值并求点的坐标若没有请说明理由

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176001. （2024•交大附中•八上一月）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别为x,y轴上一点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接BC．
$德优题库$
（1）如图1，若点A（6，0），B（0，12），则点C的坐标为．
（2）如图2，若点A为x轴上一动点，点B（0，12），使得S_△BOC=2S_△AOB，求点C的坐标．
（3）如图3，若点B为y轴上一动点，点A（6，0），请问△OAC的周长是否有最小值？若有，求△OAC的周长的最小值并求点C的坐标；若没有，请说明理由．

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[考点]

几何变换综合题，

[校正]

[答案]

（1）（18，6）；

（2）C（24，12）或C（8，﹣4）；

（3）△OAC的周长有最小值；周长最小值为

；C（3，6）．

[解析]

解：（1）如图1，过C作CH⊥OA于H，

∴∠AOB＝∠AHC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAH＝90°，
∴∠ABO＝∠CAH，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴BO＝AH，OA＝CH，
∵点A（6，0），B（0，12），
∴CH＝6，AH＝12，
∴OH＝6+12＝18，
∴点C的坐标为（18，6），
故答案为：（18，6）；
（2）如图2，连接OC，

当A在正半轴上时，设A（x，0），而点B（0，12），
同理可得：△ABO≌△CAH，
∴BO＝AH＝12，OA＝CH＝x，
∴OH＝12+x，
∵S_△BOC＝2S_△AOB，
∴

，
解得：x＝12，
∴C（24，12）；
当A在x轴的负半轴上时，过C作CH⊥OA于H，如图3，

设A（x，0），而点B（0，12），
同理可得：△ABO≌△CAH，
∴BO＝AH＝12，OA＝CH＝﹣x，
∴OH＝12+x，
∴C（12+x，x）
∵S_△BOC＝2S_△AOB，
∴

，
解得：x＝﹣4，
∴C（8，﹣4）；
综上：C（24，12）或C（8，﹣4）；
（3）△OAC的周长有最小值；理由如下：
如图4，过C作CH⊥OA于H，

同理可得：△ABO≌△CAH，
∴BO＝AH，OA＝CH＝6，
∴C在直线y＝6上运动，
作O关于直线y＝6的对称点G，则G（0，12），连接CG，
当A，C，G三点共线时，
CO+CA＝CG+CA＝GA，
此时△OAC的周长有最小值，
此时

；
∴周长最小值为

；
∵CO＝CG，
∴∠CGO＝∠COG，
∵∠AOG＝90°，
∴∠CGO+∠CAO＝90°＝∠COG+∠COA，
∴∠COA＝∠CAO，
∴CO＝CA，
∴CA＝CG，
∴C为AG的中点，
∴C（3，6）．

[点评]

本题考查了"几何变换综合题，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

185034. （2024•雁塔二中•八下一月）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A=90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
$德优题库$
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC=13，DE=7，求CE的长．
（3）当旋转角α= 时，△ABD的面积最大．

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:2

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197277. （2025•西安三中•八下期中）【问题提出】
在△ABC中，AB=AC，直线MN经过A、B两点，点D是直线MN上一点，点E是边BC上一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转至DF的位置，使得∠EDF=∠BAC．
【问题探究】
（1）如图①，当点D与点A重合时，易得BF与CE的数量关系是；
（2）如图②，当点D在线段AB上，∠BAC=60°时，请写出BF，BE，BD之间的数量关系，并说明理由；
【结论运用】
（3）如图③，当点D在射线AM上，∠BAC=90°时，AB=3，AD=1，求BF+BE的长．
$德优题库$

共享时间:2025-05-18 难度:1 相似度:2

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190419. （2025•铁一中学•七上期末）如图1，点O为直线MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边OD，OB在直线MN上，∠COD=∠AOB=90°．
$德优题库$
（1）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC=30°，则∠BOD= ；
（2）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？
（3）将图1中的三角板COD绕点O沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕点O沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在的直线平分∠AON？

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:2

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192326. （2024•尊德中学•八下二月）（一）发现探究
在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．
【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；
【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【拓展应用】如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值． $德优题库$

共享时间:2024-06-27 难度:1 相似度:2

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195827. （2025•阎良区•八上期末） $德优题库$ 【问题背景】
如图，在△ABC中，∠BAC=30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD=α，点D关于AC的对称点为E，点E关于AB的对称点为F，EF分别交射线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．
【发现探究】
（1）如图1，点D在线段BC上，用含α的式子表示∠AEF的度数；
【拓展延伸】
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜30°，则线段MA，ME，MF之间有怎样的数量关系？写出证明过程．

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:2

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196234. （2024•师大附中•八上期末）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB，∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．
$德优题库$
（1）【动手操作】
如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．

共享时间:2024-02-03 难度:1 相似度:2

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196705. （2024•西工大附中•八上期末）（1）如图1，在△ABC中AB=AC=6，∠B=∠C=15°，则AB边上的高为；
（2）四边形ABCD为正方形，边长AB=6，M是边AB上一动点（不与点A，B重合）．线段DC关于DM对称的线段为DN，连接AN．
①如图2，若△ADN为等边三角形，求AM的长；
②如图3，延长NA，交射线DM于点G．△DNG能否为等腰三角形？若能，求出此时AM的长，若不能，请说明理由．
$德优题库$

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196968. （2024•西安航天中学•八上期末）如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN、∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
$德优题库$
（1）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间的数量关系是；
（2）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下：
①图2中，线段AD、BE、AB之间的数量关系是；
②图3中，线段AD、BE、AB之间是否有①中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

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198412. （2023•爱知中学•八下期中）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，张老师将同学们分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC=5cm,BC=2cm.
$德优题库$
【解决问题】
（1）勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE=DB，请你给予证明；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积；
【拓展题伸】
（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：在（2）题的位置处，将△BCE的CE边放在线段CD上滑动，并带动△BCE一起在线段CD上来回滑动，记作△B′C′E′．点B′在线段CD右侧，连接AB′，求线段AB′的取值范围．

共享时间:2023-05-12 难度:1 相似度:2

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290472. （2021•铁一中学•一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-4，0），点B（0，3），△ABO绕点B顺时针旋转，得△A'BO'，点A、O旋转后的对应点为A'、O'，记旋转角为α．
（1）如图①，α=90°，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，当OM=1时，点N的坐标为；
（2）在（1）的条件下，当O'M+BN取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标．
（3）如图③，P为AB上一点，且PA：PB=2：1，连接PO'、PA'，在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中，△PO'A'的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2021-03-10 难度:1 相似度:2

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198533. （2022•曲江一中•九上期中）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2

，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝

AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）[问题发现]
①当θ＝0°时，

＝　　； ②当θ＝180°时，

＝　　；
（2）[拓展研究]
试判断：当0°≤θ＜360°时，

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）[问题解决]
在旋转过程中，BE的最大值为　　．

共享时间:2022-11-20 难度:1 相似度:2

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199022. （2023•交大附中•八下期中）如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α（0°＜α＜90°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F．
（1）依题意补全图形；
（2）若α=15°，求∠BPC的度数；
（3）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明．
$德优题库$

共享时间:2023-05-25 难度:1 相似度:2

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274254. （2024•高新一中•六模）如图1，在△ABC的内部，以AC为斜边作Rt△ACD，AD＝CD，连接BD，∠CBD＝45°．
（1）如图2，过点D作DE⊥BD交BC点E，连接AE．若∠EDC＝20°，则∠DAE＝　　 °．
（2）如图3，点F为AC上一点，连接FD，过点A作AH⊥DF分别交DF于点G，交DC于点H，若AG＝2BD，∠CAH＝∠BCD，求证：BD＝GD；
（3）若AC＝20，sin

，点M为直线BC上一点，连接DM，将△BDM沿直线DM翻折至△B′DM，连接B′A，B′C．当△AB′C的面积最大时，求△CDM的面积．

共享时间:2024-05-16 难度:1 相似度:2

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276740. （2023•陆港中学•五模）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形ABCD中，E为AB边上一点，F为AD边上一点，连接CE、CF，分别将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
（1）如图1，若F为AD边的中点，AB＝BC＝6，点G与点H重合，则∠ECF＝　　 °，BE＝　　；
（2）如图2，若F为AD的中点，CG平分∠ECF，

，BC＝2，求∠ECF的度数及BE的长．
（3）AB＝5，AD＝3，若F为AD的三等分点，请直接写出BE的长．

共享时间:2023-05-02 难度:1 相似度:2

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284762. （2025•西工大附中•八上期中）如图①，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，若AB＝4，AC＝2

　　；
（2）如图②，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC上的一个动点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，求证：CE⊥BC；
（3）如图③，等边△ABC中，AB＝12，P为线段BD的中点，点E为AB边的中点，点F是射线PD上的一个动点，连接EF，连接FG，CG，当CG+